Determine (com as devidas justificativas):
( 1,0 ponto) [p(t)]_{\gamma}, onde p(t)=1+4 t+6 t^{2} e \gamma=\left\{1+3 t^{2},-2+2 t-6 t^{2}, 4-t\right\} (base de \left.P_{2}(\mathbb{R})\right).

Passo 1

O enunciado pede o vetor de coordenadas de p(t)=1+4t+6t^2 em relação à base \gamma=\{p_1,p_2,p_3\} de P_2(\mathbb{R}), onde
p_1(t)=1+3t^2,\quad p_2(t)=-2+2t-6t^2,\quad p_3(t)=4-t.
Para encontrar [p(t)]_{\gamma}, usamos que em qualquer base \{b_1,b_2,b_3\} devemos escrever
p(t)=c_1\,b_1(t)+c_2\,b_2(t)+c_3\,b_3(t)
e resolver para os escalares c_1,c_2,c_3.

Passo 2

Assumimos a combinação linear
c_1(1+3t^2)+c_2(-2+2t-6t^2)+c_3(4-t)\;=\;1+4t+6t^2.
Isso é justamente aplicar o conceito de coordenadas: os coeficientes c_i serão as entradas de [p(t)]_{\gamma}.

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de t, obtemos
(c_1 -2c_2 +4c_3)\;+\;(2c_2 -c_3)\,t\;+\;(3c_1 -6c_2)\,t^2 \;=\;1+4t+6t^2.
Igualando coeficientes de 1, t e t^2, formamos o sistema
\begin{cases} c_1 -2c_2 +4c_3 = 1,\\\\ 2c_2 -c_3 = 4,\\\\ 3c_1 -6c_2 = 6. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação
3c_1 -6c_2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad c_1 -2c_2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad c_1 = 2 + 2c_2.
Da segunda equação
2c_2 -c_3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad c_3 = 2c_2 - 4.
Substituindo c_1 e c_3 na primeira:
(2+2c_2)-2c_2+4(2c_2-4)=1 \;\Longrightarrow\; 2+8c_2-16=1 \;\Longrightarrow\; 8c_2=15 \;\Longrightarrow\; c_2=\tfrac{15}{8}.
Logo
c_1=2+2\cdot\tfrac{15}{8}=\tfrac{23}{4}, \quad c_3=2\cdot\tfrac{15}{8}-4=-\tfrac{1}{4}.

Resposta

[p(t)]_{\gamma}=\Bigl(\tfrac{23}{4},\;\tfrac{15}{8},\;-\tfrac{1}{4}\Bigr).

Exercícios relacionados