Exercício 2.4.3. Mostre que a série dada é convergente:
e) \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+3)(n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+3)(n+1)}
é convergente. Informações dadas: o termo genérico da série é \dfrac{1}{(n+3)(n+1)} para n=0,1,2,\dots. Queremos provar convergência (e, se possível, encontrar a soma).

Passo 2

Ideia principal (sem resolver ainda): séries que têm frações racionais com produtos lineares no denominador costumam aceitar decomposição em frações parciais do tipo
\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\frac{A}{n+a}+\frac{B}{n+b},
o que frequentemente produz uma soma telescópica (cancelamentos em soma parcial). Vou aplicar essa técnica aqui. Explico o método: escolhemos constantes A e B tais que a igualdade valha para todo n; igualando numeradores obtemos um sistema linear para A e B que resolvemos por álgebra simples.

Passo 3

Aplicando frações parciais ao termo
\frac{1}{(n+1)(n+3)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+3}.
Multiplicando ambos os lados por (n+1)(n+3)\) obtemos \[1 = A(n+3)+B(n+1).
Isso é uma identidade polinomial em n. Igualando coeficientes de n e termos constantes temos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 3A+B=1. \end{cases}
Da primeira equação vem B=-A\]. Substituindo na segunda: \[3A+(-A)=1 \quad\Rightarrow\quad 2A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.\] Logo \(B=-\tfrac{1}{2}. Portanto a decomposição é
\frac{1}{(n+1)(n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right).]

Passo 4

Agora substituímos na série e definimos a soma parcial S_N:
S_N=\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{(n+1)(n+3)}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{N}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right).
Vou escrever explicitamente os primeiros termos para ver o cancelamento (telescopia):
\begin{aligned} \sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n+1}&= \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{N+1},\\[4pt] \sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n+3}&= \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}+\frac{1}{N+3}. \end{aligned}
Subtraindo as duas somas dentro de S_N observamos que os termos \dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dots,\dfrac{1}{N+1} se cancelam. Restam os termos não cancelados:
S_N=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+2}-\frac{1}{N+3}\right).]

Passo 5

Simplifico a expressão para S_N:
\frac{1}{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},
então
S_N=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{N+2}-\frac{1}{N+3}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{N+2}+\frac{1}{N+3}\right).
Isto é uma fórmula explícita para a soma parcial até N.

Passo 6

Para estudar a convergência tomamos o limite quando N\to\infty. Observando que
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+2}=0\qquad\text{e}\qquad\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+3}=0,
vemos que a parte subtraída em S_N tende a zero. Portanto
\lim_{N\to\infty} S_N = \frac{3}{4}.
Como a soma parcial tem limite finito, a série converge (é um exemplo clássico de série telescópica) e sua soma converge para \tfrac{3}{4}.

Resposta

A série converge e \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+3)(n+1)}=\frac{3}{4}.

Exercícios relacionados