Exercício 2.4.3. Mostre que a série dada é convergente:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente. Informações dadas: o termo genérico da série é
para
. Queremos provar convergência (e, se possível, encontrar a soma).
Passo 2
Ideia principal (sem resolver ainda): séries que têm frações racionais com produtos lineares no denominador costumam aceitar decomposição em frações parciais do tipo
o que frequentemente produz uma soma telescópica (cancelamentos em soma parcial). Vou aplicar essa técnica aqui. Explico o método: escolhemos constantes
e
tais que a igualdade valha para todo
; igualando numeradores obtemos um sistema linear para
e
que resolvemos por álgebra simples.
Passo 3
Aplicando frações parciais ao termo
Multiplicando ambos os lados por
Isso é uma identidade polinomial em
. Igualando coeficientes de
e termos constantes temos o sistema
Da primeira equação vem
. Portanto a decomposição é
Passo 4
Agora substituímos na série e definimos a soma parcial
:
Vou escrever explicitamente os primeiros termos para ver o cancelamento (telescopia):
Subtraindo as duas somas dentro de
observamos que os termos
se cancelam. Restam os termos não cancelados:
Passo 5
Simplifico a expressão para
:
então
Isto é uma fórmula explícita para a soma parcial até
.
Passo 6
Para estudar a convergência tomamos o limite quando
. Observando que
vemos que a parte subtraída em
tende a zero. Portanto
Como a soma parcial tem limite finito, a série converge (é um exemplo clássico de série telescópica) e sua soma converge para
.
Resposta
A série converge e
.