Exercício 2.4.2. As seguintes séries diverge ou converge? Justifique.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
- O termo geral da série é
. - O denominador é um polinômio em
de grau com coeficiente líder . - A série é somatória sobre
.
O enunciado não faz outras exigências (por exemplo, não pede um método específico).
Passo 2
Vamos observar algumas propriedades importantes do termo geral
.
- Como o denominador é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo, existe tal que para todo o denominador é positivo. Portanto, a partir de algum índice os termos são positivos. - Intuitivamente, o numerador
cresce de forma exponencial com enquanto o denominador cresce apenas polinomialmente (grau ). Isso já sugere que não tende a zero — um sinal claro de divergência — mas precisamos demonstrar isso rigorosamente.
Passo 3
Vou apresentar o teste que usarei: o teste da raiz (teste de Cauchy). Enunciado do teste:
- Para uma série com termos não negativos
, definimos
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Neste teste,denota a -ésima raiz de .
Passo 4
Calculemos a
-ésima raiz do termo geral
. Escrevendo
podemos separar as potências:
Aqui usei que
.
Passo 5
Agora precisamos entender o comportamento de
quando
.
Uma forma padrão de ver isso é tomar logaritmos e usar que logaritmo de um polinômio cresce como , que é muito mais lento que
. Formalmente,
Uma forma padrão de ver isso é tomar logaritmos e usar que logaritmo de um polinômio cresce como
logo
Isso implica que
Portanto
Passo 6
Combinando os passos anteriores obtemos o limite da
-ésima raiz do termo geral:
Como
(a base dos logaritmos naturais) satisfaz
, temos
.
Passo 7
Pelo teste da raiz, como o valor limite
é maior que
, concluímos que a série diverge.
Passo 8
Comentário adicional (intuitivo e útil na prova): um teste mais simples também mostra divergência imediatamente — a condição necessária para convergência de uma série é que os termos tendam a zero. Aqui os termos
não tendem a zero; na verdade crescem para o infinito porque a razão entre termos consecutivos
tende a
, o que implica crescimento exponencial da sequência dos termos. Assim a série não pode convergir. Esse argumento é uma alternativa ao teste da raiz e é mais direto em provas rápidas na prova.
Resposta
A série diverge.