Exercício 2.4.2. As seguintes séries diverge ou converge? Justifique.
c) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{k}}{12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{k}}{12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}}
converge ou diverge. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_k=\frac{e^{k}}{12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}}.
  • O denominador é um polinômio em k de grau 5 com coeficiente líder 12>0.
  • A série é somatória sobre k=1,2,3,\dots.
    O enunciado não faz outras exigências (por exemplo, não pede um método específico).

Passo 2

Vamos observar algumas propriedades importantes do termo geral \displaystyle a_k.
  • Como o denominador é um polinômio de grau 5 com coeficiente líder positivo, existe K tal que para todo k\ge K o denominador é positivo. Portanto, a partir de algum índice os termos \displaystyle a_k são positivos.
  • Intuitivamente, o numerador \displaystyle e^{k} cresce de forma exponencial com k enquanto o denominador cresce apenas polinomialmente (grau 5). Isso já sugere que \displaystyle a_k não tende a zero — um sinal claro de divergência — mas precisamos demonstrar isso rigorosamente.

Passo 3

Vou apresentar o teste que usarei: o teste da raiz (teste de Cauchy). Enunciado do teste:
  • Para uma série com termos não negativos \displaystyle\sum a_k, definimos
L=\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{a_k}.
  • Se \displaystyle L<1, a série converge absolutamente.
  • Se \displaystyle L>1, a série diverge.
  • Se \displaystyle L=1, o teste é inconclusivo.
    Neste teste, \sqrt[k]{a_k} denota a k-ésima raiz de \displaystyle a_k.

Passo 4

Calculemos a k-ésima raiz do termo geral \displaystyle a_k. Escrevendo
\sqrt[k]{a_k}=\left(\frac{e^{k}}{12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}}\right)^{1/k}
podemos separar as potências:
\sqrt[k]{a_k}=e\cdot\left(12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}\right)^{-1/k}.
Aqui usei que \left(e^{k}\right)^{1/k}=e.

Passo 5

Agora precisamos entender o comportamento de \left(12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}\right)^{1/k} quando k\to\infty.
Uma forma padrão de ver isso é tomar logaritmos e usar que logaritmo de um polinômio cresce como \log k, que é muito mais lento que k. Formalmente,
\log\!\left(12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}\right)\sim 5\log k\quad\text{quando }k\to\infty,
logo
\frac{1}{k}\log\!\left(12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}\right)\to 0.
Isso implica que
\left(12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}\right)^{1/k}\to e^{0}=1.
Portanto
\left(12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}\right)^{-1/k}\to 1.

Passo 6

Combinando os passos anteriores obtemos o limite da k-ésima raiz do termo geral:
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=e\cdot 1 = e.
Como e (a base dos logaritmos naturais) satisfaz \displaystyle e>1, temos \displaystyle L=e>1.

Passo 7

Pelo teste da raiz, como o valor limite \displaystyle L=e é maior que 1, concluímos que a série diverge.

Passo 8

Comentário adicional (intuitivo e útil na prova): um teste mais simples também mostra divergência imediatamente — a condição necessária para convergência de uma série é que os termos tendam a zero. Aqui os termos \displaystyle a_k=\frac{e^{k}}{12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}} não tendem a zero; na verdade crescem para o infinito porque a razão entre termos consecutivos
\frac{a_{k+1}}{a_k}=\;e\cdot\frac{12 k^{5}+k^{3}-176576 k^{2}}{12 (k+1)^{5}+(k+1)^{3}-176576 (k+1)^{2}}
tende a e>1, o que implica crescimento exponencial da sequência dos termos. Assim a série não pode convergir. Esse argumento é uma alternativa ao teste da raiz e é mais direto em provas rápidas na prova.

Resposta

A série diverge.

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