Exercício 2.4.2. As seguintes séries diverge ou converge? Justifique.
d)
.
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. A informação que nos é dada é apenas o termo geral da série, isto é, para cada
positivo consideramos
A pergunta é: a soma
converge (tem soma finita) ou diverge?
Passo 2
Primeiro conceito-chave: um teste necessário para convergência. Se a série
converge, então o termo geral tem que tender a zero:
Esse é o teste do termo geral (também chamado de teste da divergência). Logo, uma maneira rápida de mostrar divergência é provar que
(por exemplo, é um número diferente de zero ou é
). Se o limite não for zero, a série necessariamente diverge.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral
. Escrevemos
Para analisar o comportamento quando
é conveniente dividir numerador e denominador por
. Fazendo isso obtemos
Passo 4
Agora precisamos saber o limite
Intuitivamente a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, então esse limite é
. Para ser um pouco mais formal podemos olhar a razão entre termos consecutivos da sequência
:
Como
quando
, segue que
Quando a razão limite entre termos consecutivos é menor que
, a sequência
tende a
. Portanto
Passo 5
Voltando a
, usando o resultado do passo anterior temos
Ou seja, os termos
não só não tendem a zero, como crescem sem limite (comportam-se, para grandes
, como aproximadamente
).
Passo 6
Pelo teste do termo geral (passo 2), se
a série diverge. Como acabamos de mostrar
, concluímos que a série
diverge. (Comentário extra: de modo mais informal, para
grande o denominador é quase
, então
, e somar
obviamente não dá uma soma finita.)
Resposta
A série diverge.