Exercício 2.4.2. As seguintes séries diverge ou converge? Justifique.
d) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{3 k}}{k^{3}+e^{2 k}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{3k}}{k^{3}+e^{2k}}
converge ou diverge. A informação que nos é dada é apenas o termo geral da série, isto é, para cada k positivo consideramos
a_k=\frac{e^{3k}}{k^{3}+e^{2k}}.
A pergunta é: a soma \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge (tem soma finita) ou diverge?

Passo 2

Primeiro conceito-chave: um teste necessário para convergência. Se a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge, então o termo geral tem que tender a zero:
\text{se }\sum_{k=1}^{\infty} a_k \text{ converge então } \lim_{k\to\infty} a_k = 0.ã
Esse é o teste do termo geral (também chamado de teste da divergência). Logo, uma maneira rápida de mostrar divergência é provar que \lim_{k\to\infty} a_k \neq 0 (por exemplo, é um número diferente de zero ou é +\infty). Se o limite não for zero, a série necessariamente diverge.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral a_k. Escrevemos
a_k=\frac{e^{3k}}{k^{3}+e^{2k}}.
Para analisar o comportamento quando k\to\infty é conveniente dividir numerador e denominador por e^{2k}. Fazendo isso obtemos
a_k=\frac{e^{3k}}{k^{3}+e^{2k}}=\frac{e^{3k}/e^{2k}}{k^{3}/e^{2k}+e^{2k}/e^{2k}}=\frac{e^{k}}{\,k^{3}e^{-2k}+1\,}=\frac{e^{k}}{\,\dfrac{k^{3}}{e^{2k}}+1\,}.

Passo 4

Agora precisamos saber o limite
\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}}{e^{2k}}.
Intuitivamente a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, então esse limite é 0. Para ser um pouco mais formal podemos olhar a razão entre termos consecutivos da sequência b_k=\dfrac{k^3}{e^{2k}}:
\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{(k+1)^3}{k^3}\cdot e^{-2}.
Como \dfrac{(k+1)^3}{k^3}\to 1 quando k\to\infty, segue que
\lim_{k\to\infty}\frac{b_{k+1}}{b_k}=e^{-2}<1.
Quando a razão limite entre termos consecutivos é menor que 1, a sequência b_k tende a 0. Portanto
\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}}{e^{2k}}=0.

Passo 5

Voltando a a_k, usando o resultado do passo anterior temos
\lim_{k\to\infty} a_k=\lim_{k\to\infty}\frac{e^{k}}{\dfrac{k^{3}}{e^{2k}}+1}=\lim_{k\to\infty}\frac{e^{k}}{0+1}=\lim_{k\to\infty} e^{k}=+\infty.
Ou seja, os termos a_k não só não tendem a zero, como crescem sem limite (comportam-se, para grandes k, como aproximadamente e^{k}).

Passo 6

Pelo teste do termo geral (passo 2), se \lim_{k\to\infty} a_k \neq 0 a série diverge. Como acabamos de mostrar \lim_{k\to\infty} a_k=+\infty\neq 0, concluímos que a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{e^{3k}}{k^{3}+e^{2k}}
diverge. (Comentário extra: de modo mais informal, para k grande o denominador é quase e^{2k}, então a_k\approx e^{3k}/e^{2k}=e^{k}, e somar e^{k} obviamente não dá uma soma finita.)

Resposta

A série diverge.

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