Exercício 2.4.5. Mostre que \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right) converge e tem soma igual a 2 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{2^{n}}\right):
que a série converge;
que a soma dessa série é igual a 2.
Informações dadas: \displaystyle a série é a soma termo a termo, para n variando de 1 até infinito, dos termos \displaystyle\frac{1}{n(n+1)} e \displaystyle\frac{1}{2^{n}}. Não há mais informações ocultas — o objetivo é analisar comportamento e soma dessa série infinita.
Passo 2
Vamos separar a soma em duas séries (isto é permitido porque estamos somando termo a termo):
Primeiro vou manipular a parcela \displaystyle\frac{1}{n(n+1)}. Usamos decomposição em frações parciais: suponha que
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) obtemos
1 = A(n+1) + Bn = (A+B)n + A.
Comparando coeficientes em n e termo constante temos o sistema A+B=0 e A=1. Assim A=1 e B=-1. Portanto
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
Expliquei passo a passo como obter A e B: escrevi a igualdade, multipliquei e comparei coeficientes. Isso sempre funciona para frações parciais simples como essa.
Passo 3
Agora calculamos a soma parcial (até N) da primeira série e observamos o que acontece ao somar muitos termos:
Esse é o famoso efeito “telescópico”: as parcelas internas se anulam em cadeia.
Passo 4
Tomamos o limite quando N\to\infty da soma parcial da primeira série:
\lim_{N\to\infty}\frac{N}{N+1} = 1.
Logo a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} converge e sua soma é 1.
Passo 5
Agora tratamos a segunda série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}. Essa é uma série geométrica com primeiro termo a=\frac{1}{2} e razão r=\frac{1}{2}. Vou deduzir a fórmula da soma parcial de uma geométrica com N termos: se
S_N = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{N-1},
então multiplicando por r e subtraindo tem-se
S_N - rS_N = a - ar^{N},
ou seja
S_N = a\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Aqui a=\frac{1}{2} e r=\frac{1}{2}, então a soma parcial até N é
Portanto a série converge e sua soma é 2. Bom trabalho — você viu aqui duas técnicas clássicas que aparecem muito em provas: decomposição em frações parciais com telescópico, e soma de geométrica com razão |r|<1.