Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com
. Aqui o conteúdo é equação diferencial de tipo exata (ou que pode ser tornada exata via fator integrante). Vamos usar conceito de forma diferencial exata e fator integrante dependente só de
.
Passo 2
Identificamos
e
. Verificamos exatidão:
Passo 3
Para achar
usamos a condição
Integramos em
:
Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
e fica
que agora é exata. Então existe uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
:
Derivando isso em
e igualando a
encontramos
e integrando
Portanto
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Assim a solução implícita é
Resposta
y(x)=\bigl(1-\tfrac12\ln(x+1)\bigr)^2