Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
raizy d x+(1+x) d y=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial raiz y,dx+(1+x),dy=0 com y(0)=1. Aqui o conteúdo é equação diferencial de tipo exata (ou que pode ser tornada exata via fator integrante). Vamos usar conceito de forma diferencial exata e fator integrante dependente só de y.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=raiz y e N(x,y)=1+x. Verificamos exatidão:
partial Mpartial y=12raiz y,partial Npartial x=1,\ncomo 1/(2raiz y)neq1, não é exata. Buscamos um fator integrante mu(y) tal que mu M,dx+mu N,dy=0 seja exata.

Passo 3

Para achar mu(y) usamos a condição
mu'mu=Nx - MyM=1 - 12raiz yraiz y=1raiz y-12y
Integramos em y:
integrall(y^-1/2-tfrac12y^-1r)dy=2raiz y-tfrac12ln y+C
Logo
mu(y)=e^2raiz y-tfrac12ln y=e^2raiz yraiz y

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y) e fica
e^2raiz ydx+(1+x)e^2raiz yraiz ydy=0,
que agora é exata. Então existe uma função potencial phi(x,y) tal que
phix=e^2raiz y,phiy=(1+x)e^2raiz yraiz y
Integrando phix em relação a x:
phi(x,y)=x,e^2raiz y+h(y)
Derivando isso em y e igualando a phiy encontramos
h'(y)=e^2raiz yraiz y
e integrando
h(y)=e^2raiz y
Portanto
phi(x,y)=(x+1)e^2raiz y=C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial (x,y)=(0,1):
(0+1)e^2raiz1=e^2=C
Assim a solução implícita é
(x+1)e^2raiz y=e^2

Resposta

y(x)=\bigl(1-\tfrac12\ln(x+1)\bigr)^2

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