Exercício 7. Seja
uma amostra aleatória tal que
. Suponha que, a priori,
tenha distribuição Normal. Mostre que o desvio padrão da distribuição a posteriori de
será sempre menor que
(interprete esse resultado).
Passo 1
O enunciado dá uma amostra
i.i.d. tal que, condicionado a
, cada
. A priori temos
. O conteúdo é conjugação de Gaussianas e vamos precisar da fórmula da variância a posteriori em modelo Normal-Normal.
Passo 2
Para a conjugação Normal–Normal vale
onde aqui
e
. Logo
Passo 3
O desvio padrão a posteriori é
Como
implica
, temos
Resposta
O desvio padrão da distribuição a posteriori de
satisfaz sempre
.
Isso significa que, mesmo com uma crença inicial vaga (variância a priori grande), a informação trazida pelas 100 observações de variância 4 reduz nossa incerteza sobre a, no máximo, 0,2.
Isso significa que, mesmo com uma crença inicial vaga (variância a priori grande), a informação trazida pelas 100 observações de variância 4 reduz nossa incerteza sobre