Exercício 7. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{100} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid \theta \sim N(\theta, 4), i= 1,2, \ldots, 100. Suponha que, a priori, \theta tenha distribuição Normal. Mostre que o desvio padrão da distribuição a posteriori de \theta será sempre menor que 1 / 5 (interprete esse resultado).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra X_{1},\dots,X_{100} i.i.d. tal que, condicionado a \theta, cada X_{i}\sim N(\theta,4). A priori temos \theta\sim N(\mu_{0},\tau_{0}^{2}). O conteúdo é conjugação de Gaussianas e vamos precisar da fórmula da variância a posteriori em modelo Normal-Normal.

Passo 2

Para a conjugação Normal–Normal vale
\frac{1}{\tau_{n}^{2}} =\frac{1}{\tau_{0}^{2}}+\frac{n}{\sigma^{2}},
onde aqui \sigma^{2}=4 e n=100. Logo
\tau_{n}^{2} =\Bigl(\frac{1}{\tau_{0}^{2}}+\frac{100}{4}\Bigr)^{-1} =\Bigl(\frac{1}{\tau_{0}^{2}}+25\Bigr)^{-1}.

Passo 3

O desvio padrão a posteriori é
\tau_{n} =\frac{1}{\sqrt{\,1/\tau_{0}^{2}+25\,}}.
Como \tau_{0}^{2}>0 implica 1/\tau_{0}^{2}>0, temos
\tau_{n} <\frac{1}{\sqrt{25}} =\frac{1}{5}.

Resposta

O desvio padrão da distribuição a posteriori de \theta satisfaz sempre
\tau_{n}<1/5.
Isso significa que, mesmo com uma crença inicial vaga (variância a priori grande), a informação trazida pelas 100 observações de variância 4 reduz nossa incerteza sobre \theta a, no máximo, 0,2.

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