Exercício 6. Mostre que, u, v, w são LI se, e somente se, u+v, u+w, v+w são LI.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que os vetores vec u,vec v,vec w são LI (linearmente independentes) se, e só se, os vetores vec u+vec v,vec u+vec w,vec v+vec w também são LI. O tema é Independência Linear, e a gente vai usar a definição de LI: um conjunto de vetores é independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). Para resolver, precisamos provar duas coisas:
  1. Se vec u,vec v,vec w são LI, então vec u+vec v,vec u+vec w,vec v+vec w são LI.
  2. Se vec u+vec v,vec u+vec w,vec v+vec w são LI, então vec u,vec v,vec w são LI.

Passo 2

Primeira parte – “se”: suponha vec u,vec v,vec w LI. Para ver que vec u+vec v,vec u+vec w,vec v+vec w são LI, considere a combinação
a(vec u+vec v)+b(vec u+vec w)+c(vec v+vec w)=vec 0
Expandindo, dá
(a+b),vec u ;+;(a+c),vec v;+;(b+c),vec w ;=;vec 0
Como vec u,vec v,vec w são LI, os coeficientes têm que ser zero:
a+b=0, a+c=0, b+c=0
Resolvendo esse sistema simples, obtemos a=b=c=0. Logo vec u+vec v,vec u+vec w,vec v+vec w são LI.

Passo 3

Segunda parte – “somente se”: agora assume que vec u+vec v,vec u+vec w,vec v+vec w são LI. Queremos mostrar que qualquer combinação
alpha,vec u+beta,vec v+gamma,vec w=vec 0
só tem a solução trivial alpha=beta=gamma=0. A estratégia é reescrever cada vetor básico em função dos três vetores somados:
vec u=tfrac12l[(vec u+vec v)+(vec u+vec w)-(vec v+vec w)r],
vec v=tfrac12l[(vec u+vec v)+(vec v+vec w)-(vec u+vec w)r],
vec w=tfrac12l[(vec u+vec w)+(vec v+vec w)-(vec u+vec v)r]
Substituindo em alphavec u+betavec v+gammavec w, a gente chega a
A,(vec u+vec v)+B,(vec u+vec w)+C,(vec v+vec w)=vec 0,
onde
A=tfracalpha+beta-gamma2, B=tfracalpha-beta+gamma2, C=tfrac-alpha+beta+gamma2
Como os três vetores somados são LI, só resta A=B=C=0. Isso gera o sistema
alpha+beta-gamma=0, alpha-beta+gamma=0, -alpha+beta+gamma=0,
cuja única solução é alpha=beta=gamma=0. Logo vec u,vec v,vec w são LI.

Resposta

Provamos ambas as direções, logo vec u,vec v,vec w são linearmente independentes se, e somente se, vec u+vec v,vec u+vec w,vec v+vec w também são.

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