Exercício 6. Mostre que,
são LI se, e somente se,
são LI.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que os vetores
são LI (linearmente independentes) se, e só se, os vetores
também são LI. O tema é Independência Linear, e a gente vai usar a definição de LI: um conjunto de vetores é independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). Para resolver, precisamos provar duas coisas:
- Se
são LI, então são LI. - Se
são LI, então são LI.
Passo 2
Primeira parte – “se”: suponha
LI. Para ver que
são LI, considere a combinação
Expandindo, dá
Como
são LI, os coeficientes têm que ser zero:
Resolvendo esse sistema simples, obtemos
. Logo
são LI.
Passo 3
Segunda parte – “somente se”: agora assume que
são LI. Queremos mostrar que qualquer combinação
só tem a solução trivial
. A estratégia é reescrever cada vetor básico em função dos três vetores somados:
Substituindo em
, a gente chega a
onde
Como os três vetores somados são LI, só resta
. Isso gera o sistema
cuja única solução é
. Logo
são LI.
Resposta
Provamos ambas as direções, logo
são linearmente independentes se, e somente se,
também são.