Exercício 9. Seja E uma base ortonormal. Determine t in R de modo que u=(t, t+1, t+2)E tenha normal igual a raiz5.

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor u expresso na base ortonormal E por
u = (t,;t+1,;t+2)E
e pede para encontrar tinR tal que a norma de u seja raiz5.
Conteúdo: norma euclidiana em R^3.

Passo 2

Pela definição de norma em uma base ortonormal,
|u| = raizt^2 + (t+1)^2 + (t+2)^2
Queremos que |u| = raiz5, isto é,
raizt^2 + (t+1)^2 + (t+2)^2 = raiz5

Passo 3

Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
t^2 + (t+1)^2 + (t+2)^2 = 5
Agora expandimos os quadrados:
t^2 + l(t^2 + 2t + 1r) + l(t^2 + 4t + 4r) = 5
Somando termos semelhantes:
3t^2 + 6t + 5 = 5

Passo 4

Subtraindo 5 de ambos os lados, obtemos
3t^2 + 6t = 0
Fatorando:
3t(t + 2) = 0
logo as soluções são
t = 0 ou t = -2

Resposta

Os valores de t que garantem |u|=raiz5 são
t = 0 ou t = -2

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