Determine o sinal associado a cada uma das seguintes permutações de S=1,2,3,4,5
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Passo 1

O enunciado dá a permutação sigma em S=1,2,3,4,5 dada em forma de imagem
sigma=l(,1mapsto2,;2mapsto5,;3mapsto4,;4mapsto3,;5mapsto1r),
e pede o sinal de sigma. Vamos usar a decomposição em ciclos e a propriedade de que cada ciclo de comprimento ell contribui com um fator (-1)^ell-1 ao sinal.

Passo 2

Encontramos a decomposição em ciclos de sigma. Partindo de 1:
1to2, 2to5, 5to1,
formando o ciclo (1,2,5). Os elementos restantes são 3 e 4:
3to4, 4to3,
formando o ciclo (3,4). Logo
sigma = (1,2,5),(3,4)

Passo 3

Cada ciclo de comprimento ell tem sinal (-1)^ell-1. Assim,
o ciclo (1,2,5) tem ell=3 e sinal (-1)^3-1=(-1)^2=1,
e o ciclo (3,4) tem ell=2 e sinal (-1)^2-1=(-1)^1=-1.
O sinal total é o produto:
sgn(sigma) =1cdot(-1)=-1

Resposta

A permutação é ímpar, ou seja, tem sinal -1.

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