Determine a transformada de Laplace inversa de F(s)=s-1s^2-s-2, forall s>2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=s-1s^2-s-2, s>2
O conteúdo usado será decomposição em frações parciais e a propriedade básica
L^-1ltfrac1s-ar(t)=e^a t

Passo 2

Fatoramos o denominador e montamos a decomposição em frações parciais:
s^2-s-2=(s-2)(s+1),
s-1(s-2)(s+1) =As-2+Bs+1

Passo 3

Para determinar A e B, escrevemos
s-1(s-2)(s+1) =A(s+1)+B(s-2)(s-2)(s+1)
e igualamos numeradores:
A(s+1)+B(s-2)=s-1
Comparando coeficientes de s e termos constantes:
A+B=1, A-2B=-1
Resolvendo, obtemos
A=tfrac13, B=tfrac23

Passo 4

Assim
F(s)=1/3s-2+2/3s+1
Aplicando a transformada inversa em cada termo:
L^-1ltfrac1s-2r(t)=e^2t, L^-1ltfrac1s+1r(t)=e^-t,
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f(t)=L^-1F(s)(t) =13e^2t+23e^-t, t>=0

Resposta

f(t)=13e^2t+23e^-t, t>=0

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