Exercício 9. Mostre que se \vec{v} \neq \overrightarrow{0}, então \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} é um vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido que \vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas usando um vetor dado \vec{v} com \vec{v}\neq\overrightarrow{0}:
  1. Que \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} é um vetor unitário (ou seja, tem norma igual a 1).
  2. Que \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} tem a mesma direção e o mesmo sentido que \vec{v}.
Informações dadas: \vec{v} é um vetor qualquer não-nulo (portanto \|\vec{v}\|>0). Nada mais foi especificado sobre \vec{v}, então devemos usar apenas propriedades gerais da norma e da multiplicação escalar de vetores.

Passo 2

Relembrando definições e propriedades que vamos usar (sem assumir que você já sabe):
  • Norma (comprimento) de um vetor: para um vetor em \mathbb{R}^n dado por \vec{v}=(v_1,\dots,v_n),
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+\dots+v_n^2}.
Isso mede o “tamanho” do vetor.
  • Vetor unitário: é um vetor cuja norma vale 1. Ou seja, \vec{u} é unitário quando \|\vec{u}\|=1.
  • Multiplicação escalar e propriedade de homogeneidade da norma: para todo escalar c\in\mathbb{R} e vetor \vec{v},
\|c\vec{v}\|=|c|\,\|\vec{v}\|.
Vou mostrar rapidamente por que isso vale no caso euclidiano: se \vec{v}=(v_1,\dots,v_n), então
\|c\vec{v}\|=\sqrt{(cv_1)^2+\dots+(cv_n)^2}=\sqrt{c^2(v_1^2+\dots+v_n^2)}=|c|\sqrt{v_1^2+\dots+v_n^2}=|c|\,\|\vec{v}\|.
  • Direção e sentido: dois vetores não nulos têm a mesma direção se um é múltiplo escalar do outro; têm o mesmo sentido se esse múltiplo escalar é positivo (aponta para o mesmo lado na reta de direção).

Passo 3

Mostrando que \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} tem norma 1.
Usamos a propriedade da homogeneidade com o escalar c=\dfrac{1}{\|\vec{v}\|}. Como \vec{v}\neq\overrightarrow{0}, temos \|\vec{v}\|>0, então c é bem definido e c>0. Aplicando a propriedade,
\left\|\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\right\|=\left\|\frac{1}{\|\vec{v}\|}\,\vec{v}\right\|=\left|\frac{1}{\|\vec{v}\|}\right|\,\|\vec{v}\|.
Como \dfrac{1}{\|\vec{v}\|}>0, o valor absoluto não muda o sinal, logo
\left\|\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\right\|=\frac{1}{\|\vec{v}\|}\,\|\vec{v}\|=1.
Portanto \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} é unitário.

Passo 4

Mostrando que \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} tem a mesma direção de \vec{v}.
Reescrevemos o vetor normalizado como múltiplo escalar de \vec{v}:
\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{1}{\|\vec{v}\|}\,\vec{v}.
Isto mostra explicitamente que \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} é um múltiplo escalar de \vec{v}. Pelo que definimos antes, ser múltiplo escalar implica ter a mesma direção. Logo, as direções coincidem.

Passo 5

Mostrando que \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} tem o mesmo sentido de \vec{v}.
No passo anterior vimos que \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\dfrac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}. O fator escalar é \dfrac{1}{\|\vec{v}\|}, que é estritamente positivo porque \|\vec{v}\|>0. Quando o múltiplo escalar que liga dois vetores é positivo, os vetores apontam para o mesmo lado (mesmo sentido). Portanto \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} tem o mesmo sentido que \vec{v}.

Passo 6

Exemplo numérico curto para fixar a ideia (facinho e útil na prova):
Se \vec{v}=(3,4), então \|\vec{v}\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
O vetor normalizado é
\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Verificando a norma:
\left\|\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\right\|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
E claramente \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=\dfrac{1}{5}(3,4) com escalar positivo, então mesma direção e mesmo sentido.

Passo 7

Conclusão clara e direta do raciocínio: a normalização \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} tem norma 1 por homogeneidade da norma, é múltiplo escalar de \vec{v} (logo mesma direção) e esse múltiplo é positivo (logo mesmo sentido). Isso resolve o que foi pedido.

Resposta

\left\|\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\right\|=1 e \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\dfrac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v} com \dfrac{1}{\|\vec{v}\|}>0; portanto \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} é um vetor unitário com a mesma direção e o mesmo sentido que \vec{v}.

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