Resolva os seguintes sistemas de EDOL pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
e pede para resolver pelo método dos operadores e, quando possível, também por substituição.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As incógnitas são
e , funções de uma variável independente (vou chamar de ). - Há derivadas até segunda ordem em
e até primeira ordem em . - Queremos a família geral de soluções (com constantes arbitrárias).]
Passo 2
Vou introduzir o operador diferencial
ou seja,
,
, etc. Reescrevendo as equações com
:
a primeira equação vira
ou, isolando tudo à esquerda,
a segunda equação vira
ou, agrupando termos,
Passo 3
Da segunda equação eu fatoro o operador comum
:
Isto significa que a função
satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
ou seja
Resolvendo essa equação (é separável ou exponencial): a solução geral é
onde
é uma constante arbitrária. Em palavras: a soma
é um múltiplo de
.
Passo 4
Agora uso essa informação para eliminar
(ou
) na primeira equação. Da definição
obtemos
e diferenciando,
Mas sabemos que
(da equação anterior), logo
Substituo
em
:
Reorganizando os termos:
ou seja
Como
, a equação para
fica
Portanto reduzimos o sistema a uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea para
, com termo fonte proporcional a
.
Passo 5
Vou resolver a equação homogênea associada para
:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo:
portanto
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação rápida do porquê: para equações lineares com coeficientes constantes, expoentes
transformam a EDO em um polinômio (a característica); raízes distintas geram termos exponenciais independentes.
Passo 6
Agora preciso de uma particular
da equação não-homogênea
Método dos coeficientes a determinar: como o lado direito é proporcional a
e
não é raiz da característica (a característica deu
e
), tento
com
constante a determinar. Aplico o operador
a
:
Queremos que isto seja igual a
. Então
Assim
Passo 7
A solução geral para
é soma da homogênea com a particular:
Temos aqui três constantes
, como era de se esperar (ordem total do sistema = 3).
Passo 8
Agora obtenho
a partir de
com
:
Simplificando os termos em
:
Passo 9
Recapitulando (método dos operadores): as soluções gerais são
com
constantes arbitrárias.
Comentário de incentivo: você já tirou o nó principal — notar que
simplifica bastante o trabalho. Ótimo começo!
Passo 10
Agora explico rapidamente o método por substituição (que, neste caso, é essencialmente o mesmo raciocínio, apresentado de forma direta):
- Da segunda equação isolamos
: - Substituímos esse
em e obtemos exatamente a EDO para : - Como
satisfaz (isto vem da mesma segunda equação), temos e prosseguimos igual ao Passo 6–8 para obter as mesmas expressões para e .
Ou seja: a substituição produz a mesma redução e as mesmas soluções; portanto o método por substituição é possível e dá o mesmo resultado que o método dos operadores.