Resolva os seguintes sistemas de EDOL pelo método dos operdores e, quando possível, também por substituição:
\left\{ \begin{array}{l}x^{\prime \prime}+y^{\prime}=2 x \\\ x^{\prime}+y^{\prime}=3 x+3 y\end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
\left\{ \begin{array}{l} x''+y'=2x,\\[4pt] x'+y'=3x+3y, \end{array} \right.
e pede para resolver pelo método dos operadores e, quando possível, também por substituição.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As incógnitas são x(t) e y(t), funções de uma variável independente (vou chamar de t).
  • Há derivadas até segunda ordem em x e até primeira ordem em y.
  • Queremos a família geral de soluções (com constantes arbitrárias).]

Passo 2

Vou introduzir o operador diferencial
D=\frac{d}{dt},
ou seja, Dx=x', D^2x=x'', etc. Reescrevendo as equações com D:
a primeira equação vira
D^2 x + D y = 2x,
ou, isolando tudo à esquerda,
(D^2-2)x + D y = 0.
a segunda equação vira
D x + D y = 3x + 3y,
ou, agrupando termos,
(D-3)x + (D-3)y = 0.

Passo 3

Da segunda equação eu fatoro o operador comum (D-3):
(D-3)(x+y)=0.
Isto significa que a função z(t)=x(t)+y(t) satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
Dz-3z=0,
ou seja
z' = 3z.
Resolvendo essa equação (é separável ou exponencial): a solução geral é
z(t)=C_1 e^{3t},
onde C_1 é uma constante arbitrária. Em palavras: a soma x+y é um múltiplo de e^{3t}.

Passo 4

Agora uso essa informação para eliminar y (ou y') na primeira equação. Da definição z=x+y obtemos
y = z - x
e diferenciando,
y' = z' - x'.
Mas sabemos que z' = 3z (da equação anterior), logo
y' = 3z - x'.
Substituo y' em x''+y'=2x:
x'' + (3z - x') = 2x.
Reorganizando os termos:
x'' - x' - 2x + 3z = 0,
ou seja
x'' - x' - 2x = -3z.
Como z(t)=C_1 e^{3t}, a equação para x fica
x'' - x' - 2x = -3C_1 e^{3t}.
Portanto reduzimos o sistema a uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea para x, com termo fonte proporcional a e^{3t}.

Passo 5

Vou resolver a equação homogênea associada para x:
x'' - x' - 2x = 0.
Procuramos soluções da forma x=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2 - r - 2 = 0.
Resolvendo:
r = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
portanto r=2 e r=-1. Logo a solução geral da homogênea é
x_h(t) = C_2 e^{2t} + C_3 e^{-t},
onde C_2 e C_3 são constantes arbitrárias.
Explicação rápida do porquê: para equações lineares com coeficientes constantes, expoentes e^{rt} transformam a EDO em um polinômio (a característica); raízes distintas geram termos exponenciais independentes.

Passo 6

Agora preciso de uma particular x_p da equação não-homogênea
x'' - x' - 2x = -3C_1 e^{3t}.
Método dos coeficientes a determinar: como o lado direito é proporcional a e^{3t} e r=3 não é raiz da característica (a característica deu 2 e -1), tento
x_p(t) = A e^{3t}
com A constante a determinar. Aplico o operador L(D)=D^2-D-2 a x_p:
L(D)(A e^{3t}) = A(3^2 - 3 - 2)e^{3t} = A(9-3-2)e^{3t} = 4A e^{3t}.
Queremos que isto seja igual a -3C_1 e^{3t}. Então
4A e^{3t} = -3C_1 e^{3t} \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{3C_1}{4}.
Assim
x_p(t) = -\frac{3C_1}{4} e^{3t}.

Passo 7

A solução geral para x é soma da homogênea com a particular:
x(t) = C_2 e^{2t} + C_3 e^{-t} - \frac{3C_1}{4} e^{3t}.
Temos aqui três constantes C_1,C_2,C_3, como era de se esperar (ordem total do sistema = 3).

Passo 8

Agora obtenho y a partir de y = z - x com z=C_1 e^{3t}:
y(t) = C_1 e^{3t} - \left(C_2 e^{2t} + C_3 e^{-t} - \frac{3C_1}{4} e^{3t}\right).
Simplificando os termos em e^{3t}:
y(t) = -C_2 e^{2t} - C_3 e^{-t} + \left(1+\frac{3}{4}\right)C_1 e^{3t} = -C_2 e^{2t} - C_3 e^{-t} + \frac{7C_1}{4} e^{3t}.

Passo 9

Recapitulando (método dos operadores): as soluções gerais são
x(t) = C_2 e^{2t} + C_3 e^{-t} - \frac{3C_1}{4} e^{3t},
y(t) = -C_2 e^{2t} - C_3 e^{-t} + \frac{7C_1}{4} e^{3t},
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.
Comentário de incentivo: você já tirou o nó principal — notar que (D-3)(x+y)=0 simplifica bastante o trabalho. Ótimo começo!

Passo 10

Agora explico rapidamente o método por substituição (que, neste caso, é essencialmente o mesmo raciocínio, apresentado de forma direta):
  • Da segunda equação isolamos y': y' = 3x+3y - x'.
  • Substituímos esse y' em x''+y'=2x e obtemos exatamente a EDO para x: x'' - x' - 2x = -3(x+y).
  • Como x+y satisfaz (x+y)'=3(x+y) (isto vem da mesma segunda equação), temos x+y=C_1 e^{3t} e prosseguimos igual ao Passo 6–8 para obter as mesmas expressões para x e y.
Ou seja: a substituição produz a mesma redução e as mesmas soluções; portanto o método por substituição é possível e dá o mesmo resultado que o método dos operadores.

Resposta

x(t)=C_2 e^{2t}+C_3 e^{-t}-\dfrac{3C_1}{4} e^{3t}
y(t)=-C_2 e^{2t}-C_3 e^{-t}+\dfrac{7C_1}{4} e^{3t}

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