• Um projeto de sedimentação utiliza partículas de um minério esférico (caso base \varphi=1 ) que sedimentam em água.

Dados do Sistema:

  • Partícula: Esférica (\varphi=1), Diâmetro \left(D_{p}\right)=150 \mu \mathrm{~m}
  • Massa Específica da Partícula \rho_{2}=2.600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
  • Fluido (Água a 20^{\circ} \mathrm{C} ) : \rho=1.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}: \mu=1,0 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}
  • Aceleração da Gravidade (g)=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
    (a) Assumindo a hipótese de que o regime de escoamento é o de Stokes, calcule a velocidade terminal ( u_{t, \text { Stokes }} ) e o número de Reynolds para a partícula ( \operatorname{Re}_{p, \text { Stokes }} ).
    (b) De acordo com o resultado anterior, discuta brevemente a validade da utilização da hipótese de Stokes.
    (c) Recalcule a velocidade terminal, utilizando o resultado obtido para \operatorname{Re}_{p, \text { Stokes }} obtido em (a). Para isto, utilize a correlação para C_{D} de Coelho e Massarani:
C_{D}=\left[\left(\frac{24}{\operatorname{Re}}\right)^{1 / n}+0,43^{1 / n}\right]^{n} \quad \text { onde } n=0,63
(d) Dentre os resultados obtidos nos itens (a) e (c), qual deve ser o que mais se aproxima do valor real para a velocidade terminal desta partícula? Justifique.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Assumir regime de Stokes e calcular a velocidade terminal u_{t,\text{Stokes}} e o número de Reynolds associado \operatorname{Re}_{p,\text{Stokes}}.
  • (b) Julgar se é válido usar a hipótese de Stokes com base no resultado de (a).
  • (c) Recalcular a velocidade terminal usando a correlação de Coelho & Massarani para C_{D}:
C_{D}=\left[\left(\frac{24}{\operatorname{Re}}\right)^{1/n}+0,43^{1/n}\right]^{n},\quad n=0{,}63,
usando o valor de \operatorname{Re}_{p,\text{Stokes}} como ponto de partida para iteração.
  • (d) Dizer qual resultado (a) ou (c) é o mais próximo do real e por quê.
Dados fornecidos (vou listar explicitamente cada número para você poder conferir):
\begin{aligned} &\text{Partícula esférica: } \varphi=1,\quad D_{p}=150\\ \mu\mathrm{m}=1{,}50\times 10^{-4}\\ \mathrm{m},\\\ &\rho_{p}=2{,}600\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \rho_{f}=1{,}000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &\mu=1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\quad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. \end{aligned}íé
A diferença de densidades que aparece nas fórmulas será
\Delta\rho=\rho_{p}-\rho_{f}=1{,}600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 2

Cálculo da velocidade terminal na hipótese de Stokes — derivação e explicação didática.
Conceito rápido e necessário: em regime de Stokes (escoamento laminar bem lento, \operatorname{Re}\ll 1), a força de arraste sobre uma esfera é dada por
F_{D}=3\pi\mu D_{p}u_{t}.
No equilíbrio terminal, o peso aparente (peso menos empuxo) se equilibra com a resistência do fluido:
\text{Força peso aparente}=\frac{\pi}{6}D_{p}^{3}\Delta\rho\, g.ç
Igualando forças:
\frac{\pi}{6}D_{p}^{3}\Delta\rho\, g = 3\pi\mu D_{p}u_{t}.
Agora simplificamos (cortando \pi e um fator D_{p}) e isolamos u_{t}:
u_{t,\text{Stokes}}=\frac{\Delta\rho\, g\, D_{p}^{2}}{18\mu}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \Delta\rho: diferença de densidades \rho_{p}-\rho_{f},
  • g: gravidade,
  • D_{p}: diâmetro da partícula,
  • \mu: viscosidade dinâmica do fluido.

Passo 3

Cálculo numérico de u_{t,\text{Stokes}}, mostrando contas passo a passo.
Primeiro calcule D_{p}^{2}:
D_{p}^{2}=(1{,}50\times 10^{-4})^{2}=2{,}25\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora o numerador:
\Delta\rho\, g\, D_{p}^{2}=1600\times 9{,}81\times 2{,}25\times 10^{-8}=3{,}5316\times 10^{-4}.
Denominador:
18\mu=18\times 1{,}0\times 10^{-3}=0{,}018.
Dividindo:
u_{t,\text{Stokes}}=\frac{3{,}5316\times 10^{-4}}{0{,}018}=0{,}01962\\ \mathrm{m/s}.
Portanto (arredondando razoavelmente), temos
u_{t,\text{Stokes}}\approx 0{,}0196\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo do número de Reynolds associado e interpretação.
Definição do número de Reynolds para a partícula:
\operatorname{Re}_{p}=\frac{\rho_{f}\, u_{t}\, D_{p}}{\mu}.
Substituindo u_{t,\text{Stokes}}:
\operatorname{Re}_{p,\text{Stokes}}=\frac{1000\times 0{,}01962\times 1{,}50\times 10^{-4}}{1{,}0\times 10^{-3}}.
Calcule passo a passo:
1000\times 1{,}50\times 10^{-4}=0{,}15,
0{,}15\times 0{,}01962=0{,}002943,
\operatorname{Re}_{p,\text{Stokes}}=\frac{0{,}002943}{1{,}0\times 10^{-3}}=2{,}943\approx 2{,}94.
Interpretação física rápida (prévia para (b)): o regime de Stokes exige \operatorname{Re}\ll 1 (na prática normalmente se exige \operatorname{Re}\lesssim 0{,}1 ou, no limite coerente, \operatorname{Re}\lesssim 1). Aqui obtivemos \operatorname{Re}\approx 2{,}94, que não é \ll 1. Logo a hipótese de Stokes não é rigorosamente válida — veremos isso com mais calma no passo da discussão.

Passo 5

Preparando a correção usando a correlação de Coelho & Massarani e expondo a equação implícita que vamos resolver.
Quando \operatorname{Re} não é muito pequeno, a força de arrasto é melhor descrita por
F_{D}=\frac{1}{2}C_{D}\rho_{f}A u_{t}^{2},
onde A é a área de projeção da esfera A=\pi D_{p}^{2}/4. Igualando com o peso aparente:
\frac{1}{2}C_{D}\rho_{f}\frac{\pi D_{p}^{2}}{4}u_{t}^{2}=\frac{\pi}{6}D_{p}^{3}\Delta\rho\, g.
Simplificando (cortando \pi e D_{p}^{2}) obtemos
0{,}125\,C_{D}\rho_{f}u_{t}^{2}=\frac{1}{6}D_{p}\Delta\rho\, g.
Isolando u_{t}:
u_{t}=\sqrt{\frac{D_{p}\,\Delta\rho\, g}{0{,}75\,C_{D}\,\rho_{f}}}.
Mas \operatorname{Re}=\dfrac{\rho_{f}u_{t}D_{p}}{\mu} depende de u_{t}, então temos uma equação implícita para \operatorname{Re}. Eliminando u_{t} e isolando \operatorname{Re} obtemos
\operatorname{Re}=\sqrt{\frac{\rho_{f}D_{p}^{3}\Delta\rho\, g}{0{,}75\,\mu^{2}\,C_{D}}}.
Para facilitar, calculemos a constante numérica
K=\frac{\rho_{f}D_{p}^{3}\Delta\rho\, g}{0{,}75\,\mu^{2}}.
Com nossos dados:
D_{p}^{3}=(1{,}50\times 10^{-4})^{3}=3{,}375\times 10^{-12}\\ \mathrm{m^{3}},
\rho_{f}D_{p}^{3}\Delta\rho\, g=1000\times 3{,}375\times 10^{-12}\times 1600\times 9{,}81=5{,}2974\times 10^{-5},
0{,}75\,\mu^{2}=0{,}75\times (1{,}0\times 10^{-3})^{2}=7{,}5\times 10^{-7}.
Portanto
K=\frac{5{,}2974\times 10^{-5}}{7{,}5\times 10^{-7}}=70{,}632\approx 70{,}63.
Assim a relação prática é
\operatorname{Re}=\sqrt{\frac{K}{C_{D}}}=\frac{8{,}406}{\sqrt{C_{D}}}\quad\text{(porque }\sqrt{70{,}632}=8{,}406\text{)}.
Mas C_{D}=C_{D}(\operatorname{Re}) pela correlação dada; portanto vamos iterar: começo com \operatorname{Re}_{0}=\operatorname{Re}_{p,\text{Stokes}} e calculo C_{D}(\operatorname{Re}_{0}), depois obtenho \operatorname{Re}_{1}=\sqrt{K/C_{D}(\operatorname{Re}_{0})} e repito até convergência.

Passo 6

Iteração numérica com detalhes (mostro uma iteração porque converge muito rápido).
Dados: n=0{,}63.
Primeira iteração com \operatorname{Re}_{0}=2{,}943.
Calculemos os termos da correlação:
\frac{24}{\operatorname{Re}_{0}}=\frac{24}{2{,}943}=8{,}156\\ (\text{aprox.}).
\left(\frac{24}{\operatorname{Re}_{0}}\right)^{1/n}=8{,}156^{1/0{,}63}=8{,}156^{1{,}5873}\approx 28{,}00.
0{,}43^{1/n}=0{,}43^{1{,}5873}\approx 0{,}262.
Somando e elevando a potência n:
C_{D}=\left[28{,}00+0{,}262\right]^{0{,}63}=28{,}262^{0{,}63}\approx 8{,}22.
Agora obtenho novo \operatorname{Re}:
\operatorname{Re}_{1}=\sqrt{\frac{70{,}632}{8{,}22}}=\sqrt{8{,}590}\approx 2{,}932.
Comparando \operatorname{Re}_{1}=2{,}932 com \operatorname{Re}_{0}=2{,}943, já está praticamente convergido (diferença <0,4%). Uma iteração adicional produziria mudança ainda menor. Portanto tomamos \operatorname{Re}\approx 2{,}93.
Agora obtenha a velocidade terminal corrigida:
u_{t,\text{corr}}=\frac{\operatorname{Re}\,\mu}{\rho_{f}D_{p}}=\frac{2{,}93\times 1{,}0\times 10^{-3}}{1000\times 1{,}50\times 10^{-4}}.
Calcule:
1000\times 1{,}50\times 10^{-4}=0{,}15,
u_{t,\text{corr}}=\frac{2{,}93\times 10^{-3}}{0{,}15}=0{,}01953\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando, u_{t,\text{corr}}\approx 0{,}0195\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Comparação final e justificativa (resumo compreensível e encorajador).
  • Resultado Stokes: u_{t,\text{Stokes}}\approx 0{,}0196\\ \mathrm{m/s}, \operatorname{Re}\approx 2{,}94.
  • Resultado com correlação: u_{t,\text{corr}}\approx 0{,}0195\\ \mathrm{m/s}, \operatorname{Re}\approx 2{,}93.
Observação sobre validade: a hipótese de Stokes exige \operatorname{Re}\ll 1; aqui \operatorname{Re}\approx 3, então a hipótese não é rigorosamente válida. No entanto, a correção usando a correlação mostrou que o coeficiente de arrasto predito por Stokes ( C_{D}\approx 24/\operatorname{Re}) e o coeficiente pela correlação completa são muito próximos para esse \operatorname{Re}, o que explica por que as velocidades calculadas ficam muito próximas. Portanto o valor corrigido é teoricamente mais confiável, embora a diferença numérica seja pequena neste caso.

Resposta

(a) u_{t,\text{Stokes}}=0{,}01962\\ \mathrm{m/s}, \operatorname{Re}_{p,\text{Stokes}}=2{,}94.
(b) A hipótese de Stokes não é rigorosamente válida porque exige \operatorname{Re}\ll 1 (tipicamente <0{,}1 a 1), e aqui \operatorname{Re}\approx 2{,}94.
(c) u_{t,\text{corr}}=0{,}01953\\ \mathrm{m/s} (com \operatorname{Re}\approx 2{,}93 usando a correlação de Coelho & Massarani).
(d) O resultado de (c) (velocidade corrigida) é o que deve aproximar melhor o valor real, pois incorpora uma expressão para C_{D} válida fora do limite estrito de Stokes; embora numericamente a diferença seja pequena neste caso porque \operatorname{Re} está apenas moderadamente acima de 1.

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