- Um projeto de sedimentação utiliza partículas de um minério esférico (caso base
) que sedimentam em água.
Dados do Sistema:
- Partícula: Esférica
, Diâmetro
- Massa Específica da Partícula
- Fluido (Água a
) :
- Aceleração da Gravidade
(a) Assumindo a hipótese de que o regime de escoamento é o de Stokes, calcule a velocidade terminal (
) e o número de Reynolds para a partícula (
).
(b) De acordo com o resultado anterior, discuta brevemente a validade da utilização da hipótese de Stokes.
(c) Recalcule a velocidade terminal, utilizando o resultado obtido para
obtido em (a). Para isto, utilize a correlação para
de Coelho e Massarani:
(d) Dentre os resultados obtidos nos itens (a) e (c), qual deve ser o que mais se aproxima do valor real para a velocidade terminal desta partícula? Justifique.
(a) Assumindo a hipótese de que o regime de escoamento é o de Stokes, calcule a velocidade terminal (
(b) De acordo com o resultado anterior, discuta brevemente a validade da utilização da hipótese de Stokes.
(c) Recalcule a velocidade terminal, utilizando o resultado obtido para
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Assumir regime de Stokes e calcular a velocidade terminal
e o número de Reynolds associado . - (b) Julgar se é válido usar a hipótese de Stokes com base no resultado de (a).
- (c) Recalcular a velocidade terminal usando a correlação de Coelho & Massarani para
:
usando o valor de
como ponto de partida para iteração.
- (d) Dizer qual resultado (a) ou (c) é o mais próximo do real e por quê.
Dados fornecidos (vou listar explicitamente cada número para você poder conferir):
A diferença de densidades que aparece nas fórmulas será
Passo 2
Cálculo da velocidade terminal na hipótese de Stokes — derivação e explicação didática.
Conceito rápido e necessário: em regime de Stokes (escoamento laminar bem lento,
), a força de arraste sobre uma esfera é dada por
No equilíbrio terminal, o peso aparente (peso menos empuxo) se equilibra com a resistência do fluido:
Igualando forças:
Agora simplificamos (cortando
e um fator
) e isolamos
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: diferença de densidades , -
: gravidade, -
: diâmetro da partícula, -
: viscosidade dinâmica do fluido.
Passo 3
Cálculo numérico de
, mostrando contas passo a passo.
Primeiro calcule
:
Agora o numerador:
Denominador:
Dividindo:
Portanto (arredondando razoavelmente), temos
Passo 4
Cálculo do número de Reynolds associado e interpretação.
Definição do número de Reynolds para a partícula:
Substituindo
:
Calcule passo a passo:
Interpretação física rápida (prévia para (b)): o regime de Stokes exige
(na prática normalmente se exige
ou, no limite coerente,
). Aqui obtivemos
, que não é
. Logo a hipótese de Stokes não é rigorosamente válida — veremos isso com mais calma no passo da discussão.
Passo 5
Preparando a correção usando a correlação de Coelho & Massarani e expondo a equação implícita que vamos resolver.
Quando
não é muito pequeno, a força de arrasto é melhor descrita por
onde
é a área de projeção da esfera
. Igualando com o peso aparente:
Simplificando (cortando
e
) obtemos
Isolando
:
Mas
depende de
, então temos uma equação implícita para
. Eliminando
e isolando
obtemos
Para facilitar, calculemos a constante numérica
Com nossos dados:
Portanto
Assim a relação prática é
Mas
pela correlação dada; portanto vamos iterar: começo com
e calculo
, depois obtenho
e repito até convergência.
Passo 6
Iteração numérica com detalhes (mostro uma iteração porque converge muito rápido).
Dados:
.
Primeira iteração com
.
Calculemos os termos da correlação:
Somando e elevando a potência
:
Agora obtenho novo
:
Comparando
com
, já está praticamente convergido (diferença <0,4%). Uma iteração adicional produziria mudança ainda menor. Portanto tomamos
.
Agora obtenha a velocidade terminal corrigida:
Calcule:
Arredondando,
.
Passo 7
Comparação final e justificativa (resumo compreensível e encorajador).
- Resultado Stokes:
, . - Resultado com correlação:
, .
Observação sobre validade: a hipótese de Stokes exige
; aqui
, então a hipótese não é rigorosamente válida. No entanto, a correção usando a correlação mostrou que o coeficiente de arrasto predito por Stokes (
) e o coeficiente pela correlação completa são muito próximos para esse
, o que explica por que as velocidades calculadas ficam muito próximas. Portanto o valor corrigido é teoricamente mais confiável, embora a diferença numérica seja pequena neste caso.
Resposta
(a)
,
.
(b) A hipótese de Stokes não é rigorosamente válida porque exige (tipicamente
a
), e aqui
.
(c) (com
usando a correlação de Coelho & Massarani).
(d) O resultado de (c) (velocidade corrigida) é o que deve aproximar melhor o valor real, pois incorpora uma expressão para válida fora do limite estrito de Stokes; embora numericamente a diferença seja pequena neste caso porque
está apenas moderadamente acima de 1.
(b) A hipótese de Stokes não é rigorosamente válida porque exige
(c)
(d) O resultado de (c) (velocidade corrigida) é o que deve aproximar melhor o valor real, pois incorpora uma expressão para