Exercício 3. Neste exercício, vamos mostrar que de<a0 pode ser escrito como limite de funções da forma de<a0= lim t infty sen(t x)pi x.
(0,5 ponto) a) Prove que a distribuição temperada u in S^prime(R) dada por u(phi)=12 pi integral F phi(xi) d xi, forall phi in S(R), é igual ao delta de Dirac, ou seja, u=de<a0. (Dica: Pense na fórmula de F^-1 ).
(1 ponto) b) Mostre que para todo t>0 e phi in S(R) temos
integral-t^t F phi(xi) d xi=2 integral phi(x) sen(t x)x d x
(1 ponto) c) Conclua que
lim t infty sen(t x)x=pi de<a0

Passo 1

O enunciado usa a transformada de Fourier em S'(R) e pede três coisas:
– (a) mostrar que a distribuição
u(phi)=12piintegralRFphi(xi),dxi
é igual a de<a0;
– (b) provar a identidade
integral-t^tFphi(xi),dxi ;=;2integralRphi(x),sin(tx)x,dx;
– (c) concluir que
limttoinftysin(tx)x=pi,de<a0
no sentido de distribuições temperadas.

Passo 2

Para (a) lembramos a fórmula de inversão da transformada de Fourier para phiinS(R):
phi(0) =12piintegralRe^icdot0cdotxi,Fphi(xi),dxi =12piintegralRFphi(xi),dxi
Logo u(phi)=phi(0) para todo phi, isto é exatamente a ação de de<a0. Concluímos u=de<a0.

Passo 3

Para (b) usamos a definição Fphi(xi)=integralRphi(x)e^-ixi x,dx. Então
integral-t^tFphi(xi),dxi =integralRphi(x)l(integral-t^te^-ixi xdxir)dx
O integral interno é
integral-t^te^-ixi xdxi =l[e^-ixi x-ixr]-t^t =e^-itx-e^itx-ix =2,sin(tx)x
Portanto
integral-t^tFphi(xi),dxi =2integralRphi(x),sin(tx)x,dx

Passo 4

Para (c) combinamos (a) e (b). Da parte (a) temos
phi(0) =de<a0(phi) =12piintegralRFphi(xi),dxi
Da parte (b) aplicada a [-t,t] obtemos
12piintegral-t^tFphi(xi),dxi =1piintegralRphi(x),sin(tx)x,dx
Fazendo ttoinfty, o lado esquerdo tende a phi(0). Logo
limttoinfty1piintegralRphi(x),sin(tx)x,dx =phi(0),
o que, por definição de convergência em S', significa
limttoinftysin(tx)x =pi,de<a0

Resposta

limttoinftysin(tx)x =pi,de<a0

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