Exercício 3. Neste exercício, vamos mostrar que
pode ser escrito como limite de funções da forma
.
ponto) a) Prove que a distribuição temperada
dada por
, é igual ao delta de Dirac, ou seja,
. (Dica: Pense na fórmula de
).
(1 ponto) b) Mostre que para todo
e
temos
(1 ponto) c) Conclua que
(1 ponto) b) Mostre que para todo
Passo 1
O enunciado usa a transformada de Fourier em
e pede três coisas:
– (a) mostrar que a distribuição
– (a) mostrar que a distribuição
é igual a
;
– (b) provar a identidade
– (b) provar a identidade
– (c) concluir que
no sentido de distribuições temperadas.
no sentido de distribuições temperadas.
Passo 2
Para (a) lembramos a fórmula de inversão da transformada de Fourier para
:
Logo
para todo
, isto é exatamente a ação de
. Concluímos
.
Passo 3
Para (b) usamos a definição
. Então
O integral interno é
Portanto
Passo 4
Para (c) combinamos (a) e (b). Da parte (a) temos
Da parte (b) aplicada a
obtemos
Fazendo
, o lado esquerdo tende a
. Logo
o que, por definição de convergência em
, significa