1. Identifique as seguintes quádricas.
    2 x^2+3 y^2-z^2-12 x+12 y+2 z+29=0.
    (resp.: hiperboloide de uma folha)

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície de segunda ordem dada por
2x^2+3y^2-z^2-12x+12y+2z+29=0
O conteúdo principal aqui é completar quadrados para reduzir à forma canónica e, a seguir, usar o sinal dos coeficientes e o termo independente para classificar a quádrica.

Passo 2

Agrupamos termos em x, y e z e começamos a completar quadrados:
2l(x^2-6xr);+;3l(y^2+4yr);-;l(z^2-2zr);+;29=0
Agora,
x^2-6x=(x-3)^2-9, y^2+4y=(y+2)^2-4, z^2-2z=(z-1)^2-1

Passo 3

Substituindo de volta:
2l[(x-3)^2-9r] +3l[(y+2)^2-4r] -l[(z-1)^2-1r] +29=0
Desenvolvendo e somando constantes:
2(x-3)^2-18 ;+;3(y+2)^2-12 ;-;(z-1)^2+1 ;+;29=0
Longrightarrow; 2(x-3)^2+3(y+2)^2-(z-1)^2 +(-18-12+1+29)=0
E como -18-12+1+29=0, fica
2(x-3)^2+3(y+2)^2-(z-1)^2=0

Passo 4

A forma canónica obtida é
2(X)^2+3(Y)^2-(Z)^2=0,
onde X=x-3, Y=y+2 e Z=z-1. Note que temos duas direções com coeficiente positivo e uma com coeficiente negativo, mas o termo independente à direita é zero.

Passo 5

Quando uma quádricas satisfaz
lambda1U^2+lambda2V^2+lambda3W^2=0
com dois lambda>0 e um lambda<0, trata-se de um cone duplo (cone elíptico). O vértice está na translação X=Y=Z=0, ou seja, em (3,-2,1).

Resposta

A superfície é um cone duplo elíptico com vértice em (3,-2,1).

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