Identifique as seguintes quádricas. .
(resp.: elipsoide)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a quádricas dada pela equação .
O conteúdo aqui é a identificação de quádricas em via análise da forma quadrática associada, usando matriz simétrica e autovalores.
Passo 2
Reescrevemos a forma quadrática
através da matriz simétrica
pois o coeficiente de xy gera entradas iguais a tfrac-42=-2 fora da diagonal.
Passo 3
Encontramos os autovalores de A. Para o bloco 8 & -2-2 & 5,
o traço é 8+5=13 e o determinante é 8cdot5-(-2)^2=36. Logo
lambda=13pmraiz13^2-4cdot362 =13pm52,
resultando em lambda1=9 e lambda2=4. O terceiro autovalor é lambda3=1, vindo do termo z^2.
Passo 4
Como todos os autovalores lambda1,lambda2,lambda3 são positivos, a forma quadrática é definida positiva. A equação Q(x,y,z)=36 com constante positiva descreve, portanto, um elipsoide.