1. Identifique as seguintes quádricas.
    8 x^2-4 x y+5 y^2+z^2=36.
    (resp.: elipsoide)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a quádricas dada pela equação
,8x^2-4xy+5y^2+z^2=36,.
O conteúdo aqui é a identificação de quádricas em R^3 via análise da forma quadrática associada, usando matriz simétrica e autovalores.

Passo 2

Reescrevemos a forma quadrática
Q(x,y,z)=8x^2-4xy+5y^2+z^2
através da matriz simétrica
A= 8 & -2 & 0 -2 & 5 & 0 0 & 0 & 1 ,
pois o coeficiente de xy gera entradas iguais a tfrac-42=-2 fora da diagonal.

Passo 3

Encontramos os autovalores de A. Para o bloco
8 & -2-2 & 5,
o traço é 8+5=13 e o determinante é 8cdot5-(-2)^2=36. Logo
lambda=13pmraiz13^2-4cdot362 =13pm52,
resultando em lambda1=9 e lambda2=4. O terceiro autovalor é lambda3=1, vindo do termo z^2.

Passo 4

Como todos os autovalores lambda1,lambda2,lambda3 são positivos, a forma quadrática é definida positiva. A equação Q(x,y,z)=36 com constante positiva descreve, portanto, um elipsoide.

Resposta

Elipsoide

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