Exercício 4. Neste exercício vamos ver duas situações em que necessariamente obtemos polinômios ao final.
Seja u in S^prime(R^n) uma distribuição temperada que satisfaz De<a u=0. Calcule a transformada de Fourier de De<a u e determine supp (F(u)). Prove, então, que u é um polinômio.

Passo 1

O enunciado diz que u é uma distribuição temperada em R^n satisfazendo
De<a u = 0
Queremos usar a transformada de Fourier para converter essa equação diferencial numa equação algébrica em transformada, depois identificar o suporte de F(u) e, por fim, usar um resultado padrão de teoria de distribuições para concluir que u é um polinômio.

Passo 2

Escolhemos como definição de transformada de Fourier em S'(R^n)
F(u)(xi) =lang<= u(x),e^-i xcdotxirang<=,
de modo que, para derivadas, vale a propriedade
F(partialxju)(xi) =i,xij,F(u)(xi)
Assim
F(De<a u)(xi) =sumj=1^nF(partialxj^2u)(xi) =sumj=1^n(ixij)^2,F(u)(xi) =-|xi|^2,F(u)(xi)
Como De<a u=0 em S'(R^n), obtemos
-|xi|^2,F(u)(xi)=0 em S'(R^n)

Passo 3

A equação
|xi|^2,F(u)(xi)=0
como identidade de distribuições implica que o suporte de F(u) está contido no conjunto de zeros do polinômio P(xi)=|xi|^2. Logo
suppl(F(u)r);subset;xiinR^n:|xi|^2=0 =0

Passo 4

Um teorema clássico em teoria de distribuições temperadas afirma que toda distribuição temperada com suporte em um ponto (aqui 0) é uma combinação finita de derivadas da delta de Dirac. Assim existe NinN e constantes calpha tais que
F(u) =sum|alpha|<= Ncalpha,D^alphade<a0,
onde alpha é multi-índice e D^alphade<a0 é a derivada de ordem alpha de de<a em 0.

Passo 5

Fazendo a transformada de Fourier inversa em cada termo, recordando que
F^-1(D^alphade<a0)(x) =(i,x)^alpha,
chegamos a
u(x) =sum|alpha|<= Ncalpha,(i,x)^alpha,
ou seja, u é exatamente um polinômio em x de grau no máximo N.

Resposta

u é necessariamente um polinômio em x.

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