Exercício 4. Neste exercício vamos ver duas situações em que necessariamente obtemos polinômios ao final.
Seja
uma distribuição temperada que satisfaz
. Calcule a transformada de Fourier de
e determine supp
. Prove, então, que
é um polinômio.
Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é uma distribuição temperada em
satisfazendo
Queremos usar a transformada de Fourier para converter essa equação diferencial numa equação algébrica em transformada, depois identificar o suporte de
e, por fim, usar um resultado padrão de teoria de distribuições para concluir que
é um polinômio.
Passo 2
Escolhemos como definição de transformada de Fourier em
de modo que, para derivadas, vale a propriedade
Assim
Como
em
, obtemos
Passo 3
A equação
como identidade de distribuições implica que o suporte de
está contido no conjunto de zeros do polinômio
. Logo
Passo 4
Um teorema clássico em teoria de distribuições temperadas afirma que toda distribuição temperada com suporte em um ponto (aqui
) é uma combinação finita de derivadas da delta de Dirac. Assim existe
e constantes
tais que
onde
é multi-índice e
é a derivada de ordem
de
em
.
Passo 5
Fazendo a transformada de Fourier inversa em cada termo, recordando que
chegamos a
ou seja,
é exatamente um polinômio em
de grau no máximo
.