- Identifique as seguintes quádricas.
.
(resp.: hiperboloide de duas folhas)
(resp.: hiperboloide de duas folhas)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a quádrica
ou seja, identificar de que tipo de superfície se trata. Vamos usar mudança de variáveis (translações e rotação de eixos) para levá-la à forma canônica, de onde podemos ler o tipo (elipsoide, hiperboloide, etc.).
Passo 2
Começamos completando quadrado em
. Escrevemos
então a equação fica
Reagrupe:
Passo 3
Agrupe os termos em
e
:
Substituindo na equação:
Passo 4
Reescreva isolando a parte quadrática:
Defina
. A equação vira
Passo 5
Para diagonalizar o produto
, faça rotação de
em
:
Então
e a equação se torna
Esta é a forma canônica com dois quadrados positivos
e um negativo
.
Passo 6
Quando, na forma canônica, aparecem dois termos quadráticos positivos e um negativo igual a
, trata-se de um hiperboloide de uma folha (porque o sinal negativo em apenas uma direção gera uma superfície única, “ligada”, atravessando o centro).
Resposta
A quádrica é um hiperboloide de uma folha.