1. Identifique as seguintes quádricas.
    z^2-2 x y+2 x+2 y-4 z=0.
    (resp.: hiperboloide de duas folhas)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a quádrica
z^2 - 2xy + 2x + 2y - 4z = 0
ou seja, identificar de que tipo de superfície se trata. Vamos usar mudança de variáveis (translações e rotação de eixos) para levá-la à forma canônica, de onde podemos ler o tipo (elipsoide, hiperboloide, etc.).

Passo 2

Começamos completando quadrado em z. Escrevemos
z^2 - 4z = (z - 2)^2 - 4,
então a equação fica
(z - 2)^2 - 4 ;-; 2xy ;+; 2x + 2y ;=; 0
Reagrupe:
(z - 2)^2 ;-; 2xy ;+; 2x + 2y ;-;4 ;=;0

Passo 3

Agrupe os termos em x e y:
-2xy + 2x + 2y = -2l(xy - x - yr) = -2l((x-1)(y-1) - 1r) = -2(x-1)(y-1) + 2
Substituindo na equação:
(z - 2)^2 ;-; 2(x-1)(y-1) + 2 ;-;4 = 0 Longrightarrow (z - 2)^2 ;-; 2(x-1)(y-1) ;-;2 = 0

Passo 4

Reescreva isolando a parte quadrática:
(z - 2)^2 ;-; 2(x-1)(y-1) = 2 Longrightarrow (z - 2)^22 ;-; (x-1)(y-1) = 1
Defina ;u = x - 1,;v = y - 1. A equação vira
(z - 2)^22 ;-; u,v = 1

Passo 5

Para diagonalizar o produto uv, faça rotação de 45^circ em u,v:
p = u+vraiz2, q = u-vraiz2
Então
u,v = p^2 - q^22,
e a equação se torna
(z-2)^22 ;-; p^2-q^22 =1 Longrightarrow (z-2)^22 ;+; q^22 ;-; p^22 =1
Esta é a forma canônica com dois quadrados positivos l((z-2)^2,q^2r) e um negativo l(-p^2r).

Passo 6

Quando, na forma canônica, aparecem dois termos quadráticos positivos e um negativo igual a 1, trata-se de um hiperboloide de uma folha (porque o sinal negativo em apenas uma direção gera uma superfície única, “ligada”, atravessando o centro).

Resposta

A quádrica é um hiperboloide de uma folha.

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