Exercício 4. Neste exercício vamos ver duas situações em que necessariamente obtemos polinômios ao final.
Seja
uma função holomorfa tal que para todo
, existem
e
tais que
Mostre que
é um polinômio.
(Dica: Qual o suporte de
?).
Seja
(Dica: Qual o suporte de
Passo 1
O enunciado fala de uma função inteira
que satisfaz, para todo
, um crescimento do tipo
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Paley–Wiener–Schwartz, que caracteriza as funções inteiras que são transformadas de Fourier–Laplace de distribuições com suporte compacto.
Passo 2
Vamos olhar
restrita ao eixo real
. Definimos a distribuição
em
por
ou seja, para teste
,
Pelo Teorema de Paley–Wiener–Schwartz,
tem suporte compacto se e somente se a transformada de Fourier–Laplace
é inteira e satisfaz um estimador
onde e
Passo 3
No nosso caso
e a hipótese nos dá
Logo podemos comparar
para todo
. Mas
Portanto
para todo
. A única possibilidade é
, ou seja,
.
Passo 4
Como , sabemos que
é combinação finita de derivadas do delta de Dirac em
:
A transformada de Fourier de
é
, um monômio em
. Logo
é uma combinação finita de monômios, isto é, um polinômio em
.
Resposta
A função
é um polinômio.