Exercício 4. Neste exercício vamos ver duas situações em que necessariamente obtemos polinômios ao final.
Seja f: C^n C uma função holomorfa tal que para todo epsilon>0, existem N(epsilon) in N0 e C(epsilon)>0 tais que
|f(z)| <= C(epsilon)(1+|z|)^N(epsilon) e^epsilon|Im(z)|
Mostre que f é um polinômio.
(Dica: Qual o suporte de F^-1(f) ?).

Passo 1

O enunciado fala de uma função inteira f:C^ntoC que satisfaz, para todo epsilon>0, um crescimento do tipo
|f(z)|<= C(epsilon),(1+|z|)^N(epsilon)e^epsilon|Im z|
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Paley–Wiener–Schwartz, que caracteriza as funções inteiras que são transformadas de Fourier–Laplace de distribuições com suporte compacto.

Passo 2

Vamos olhar restrita ao eixo real . Definimos a distribuição em por
ou seja, para teste ,
Pelo Teorema de Paley–Wiener–Schwartz, tem suporte compacto se e somente se a transformada de Fourier–Laplace
é inteira e satisfaz um estimador
onde e

Passo 3

No nosso caso F(T)(z)=f(z) e a hipótese nos dá
|f(z)|<= C(epsilon)(1+|z|)^N(epsilon)e^epsilon|Im z|
Logo podemos comparar HK(Im z)<=epsilon|Im z| para todo epsilon>0. Mas
HK(Im z)=supxin K lang<= x,Im zrang<= <= l(supxin K|x|r)|Im z|
Portanto
supxin K|x|<= epsilon
para todo epsilon>0. A única possibilidade é supxin K|x|=0, ou seja, K=0.

Passo 4

Como , sabemos que é combinação finita de derivadas do delta de Dirac em :
A transformada de Fourier de é , um monômio em . Logo
é uma combinação finita de monômios, isto é, um polinômio em .

Resposta

A função f é um polinômio.

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