Neste exercício propomos duas questões sobre funções dadas da forma 1epsilon^n phi(xepsilon) .
(1,25 ponto) a) Dada phi in Cc^infty(R^n) tal que integralR^n phi(x) d x=1 , defina phiepsilon(x):=1epsilon^n phi(xepsilon) . Mostre que se psi in Cc(R^n) , ou seja, se psi é uma função contínua com suporte compacto, então existe um compacto K subset R^n tal que o suporte de psi * phiepsilon está sempre contido em K , para todo 0<epsilon <= 1 . Mostre, por fim, que psi * phiepsilon converge a psi uniformemente, quando epsilon 0^+ .

Passo 1

Resumindo, temos uma função phiin Cc^infty(R^n) com integralR^nphi(x),dx=1 e definimos o mollificador
phiepsilon(x)=1epsilon^n,phi!l(tfracxepsilonr)
A função psiin Cc(R^n) é contínua com suporte compacto. Precisamos:
  1. mostrar que existe compacto KsubsetR^n tal que supp(psi*phiepsilon)subset K para todo 0<epsilon<=1;
  2. provar que psi*phiepsilontopsi uniformemente quando epsilonto0^+.

Passo 2

Lembramos que
supp(phiepsilon) =epsilon,supp(phi),
pois, se ynotinepsilon,supp(phi), então y/epsilonnotinsupp(phi) e phi(y/epsilon)=0. Como supp(phi) é compacto e 0<epsilon<=1, segue
supp(phiepsilon)subsetsupp(phi)
Além disso, a propriedade geral de suportes na convolução diz
supp(psi*phiepsilon) subsetsupp(psi)+supp(phiepsilon) subsetsupp(psi)+supp(phi)
Definindo
K=supp(psi)+supp(phi),
vê-se que K é compacto (soma de compactos) e contém supp(psi*phiepsilon) para todo 0<epsilon<=1.

Passo 3

Para a convergência uniforme usamos que psi é contínua em um compacto, logo uniformemente contínua. Definimos o módulo de continuidade
omega(de<a) =supl|psi(x)-psi(y)|:x,yinsupp(psi),,|x-y|<=de<ar,
que satisfaz omega(de<a)to0 quando de<ato0. Seja
R=max|z|:zinsupp(phi),
de modo que phiepsilon está suportada em y:|y|<=epsilon R.

Passo 4

Para qualquer xinR^n e 0<epsilon<=1 temos
|psi*phiepsilon(x)-psi(x)| &=l|integralR^nl[psi(x-y)-psi(x)r]phiepsilon(y),dyr| &<=integral|y|<=epsilon R|psi(x-y)-psi(x)|,phiepsilon(y),dy <=omega(epsilon R)integralR^nphiepsilon(y),dy =omega(epsilon R),
pois integralphiepsilon=1. Como omega(epsilon R)to0 quando epsilonto0, segue
supxinR^n|psi*phiepsilon(x)-psi(x)| <=omega(epsilon R)xrightarrowepsilonto00,
isto é, psi*phiepsilontopsi uniformemente.

Resposta

Escolhendo
K=supp(psi)+supp(phi),
obtemos supp(psi*phiepsilon)subset K para todo 0<epsilon<=1. Além disso,
|psi*phiepsilon-psi|L^infty(R^n) <=omega(epsilon R)to0 (epsilonto0^+),
logo psi*phiepsilontopsi uniformemente em R^n.

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