Neste exercício propomos duas questões sobre funções dadas da forma .
(1,25 ponto) a) Dada tal que , defina . Mostre que se , ou seja, se é uma função contínua com suporte compacto, então existe um compacto tal que o suporte de está sempre contido em , para todo . Mostre, por fim, que converge a uniformemente, quando .
Passo 1
Resumindo, temos uma função com e definimos o mollificador
A função é contínua com suporte compacto. Precisamos:
mostrar que existe compacto tal que para todo ;
provar que uniformemente quando .
Passo 2
Lembramos que
pois, se , então e . Como é compacto e , segue
Além disso, a propriedade geral de suportes na convolução diz
Definindo
vê-se que é compacto (soma de compactos) e contém para todo .
Passo 3
Para a convergência uniforme usamos que é contínua em um compacto, logo uniformemente contínua. Definimos o módulo de continuidade
que satisfaz quando . Seja
de modo que está suportada em .
Passo 4
Para qualquer e temos
pois integralphiepsilon=1. Como omega(epsilon R)to0 quando epsilonto0, segue