Exercício 7. Na notação acima, justifique as seguintes afirmações.
(i) dd r Vol Br(x0)= Area partial Br(x0).
(ii) Vol Br(x0)=omegad r^d.
(iii) Area partial Br(x0)=d omegad r^d-1 e, em particular, Area(partial B1)=d omegad.
(iv) Calcule os volumes e áreas em dimensões d in1,2,3,4,5 e interprete seu resultado com fórmulas já conhecidas de geometria elementar.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o volume de uma bola de raio r em R^d, denotado por VolBr(x0), e com a sua “área de fronteira” Area,partial Br(x0). Vamos usar dois ingredientes principais:
  1. O Teorema Fundamental do Cálculo aplicado à função V(r)=VolBr(x0).
  2. O argumento de homogeneidade ou “escala” de R^d: dilatar o espaço por fator r multiplica volumes por r^d.

Passo 2

Para mostrar que
ddr,VolBr(x0)=Area,partial Br(x0),
note que, para h>0 pequeno,
VolBr+h(x0)-VolBr(x0)
é o volume do “casco” entre as esferas de raios r e r+h. Como o casco tem espessura h e “área de seção” aproximadamente Area,partial Br(x0), temos
VolBr+h-VolBrh approx Area,partial Br(x0)
Tomando hto0 e usando o Teorema Fundamental do Cálculo, segue o resultado.

Passo 3

Para ver que
VolBr(x0)=omegad,r^d,
observe que dilatar R^d por fator r leva a bola unitária B1 na bola Br. Como a dilatação multiplica volumes por r^d, definindo
omegad=VolB1(x0),
segue imediatamente
VolBr(x0) =Voll(r,B1r) =r^d,VolB1 =omegad,r^d

Passo 4

Diferenciando VolBr=omegad,r^d em r e usando o Passo 2, obtemos
Area,partial Br(x0) =ddrl(omegad,r^dr) =d,omegad,r^d-1
Em particular, para r=1 temos
Area,partial B1(x0)=d,omegad

Passo 5

O valor de omegad pode ser expresso em termos da função Gama:
omegad =pi^d/2Gammal(tfrac d2+1r)
Para d=1,2,3,4,5 podemos calcular explicitamente omegad usando Gamma(n+1)=n! e Gammal(tfrac12r)=raizpi, Gammal(n+tfrac12r)=(2n)!4^n,n!raizpi.

Passo 6

Cálculo de omegad, volumes e áreas em cada dimensão:
  • d=1:
    omega1 = pi^1/2Gamma(tfrac32) =raizpitfrac12raizpi=2.
    VolBr=2r, Area,partial Br=2.
  • d=2:
    omega2 = pi^1Gamma(2)=pi1!=pi.
    VolBr=pi r^2, Area,partial Br=2pi r.
  • d=3:
    omega3 = pi^3/2Gamma(tfrac52) =piraizpitfrac32cdottfrac12raizpi =4pi3.
    VolBr=tfrac4pi3r^3, Area,partial Br=4pi r^2.
  • d=4:
    omega4 = pi^2Gamma(3) =pi^22!=pi^22.
    VolBr=tfracpi^22r^4, Area,partial Br=2pi^2 r^3.
  • d=5:
    omega5 = pi^5/2Gamma(tfrac72) =pi^2raizpitfrac158raizpi =8pi^215.
    VolBr=tfrac8pi^215r^5, Area,partial Br=tfrac8pi^23r^4.

Passo 7

Interpretação geométrica para d=1,2,3:
  • d=1: bola é intervalo de comprimento 2r.
  • d=2: bola é disco de área pi r^2 e “área” de contorno (circunferência) 2pi r.
  • d=3: bola é esfera sólida de volume tfrac4pi3r^3 e superfície 4pi r^2.
Para d=4,5 obtemos as fórmulas de hiperesfera já conhecidas em termos de pi^2 e pi^2-multiplicadores.

Resposta

(i) ddrVolBr(x0)=Area,partial Br(x0)
(ii) VolBr(x0)=omegad,r^d
(iii) Area,partial Br(x0)=d,omegad,r^d-1, em particular Area,partial B1=d,omegad
(iv) Para d=1,2,3,4,5,
omega1=2,;omega2=pi,;omega3=tfrac4pi3,;omega4=tfracpi^22,;omega5=tfrac8pi^215,
VolBr=omegadr^d,;Area,partial Br=d,omegadr^d-1,
com as fórmulas de comprimento, área, volume e hipervolumes conhecidas.

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