Exercício 7. Na notação acima, justifique as seguintes afirmações.
(i)
Area
.
(ii)
.
(iii) Area
e, em particular,
.
(iv) Calcule os volumes e áreas em dimensões
e interprete seu resultado com fórmulas já conhecidas de geometria elementar.
(i)
(ii)
(iii) Area
(iv) Calcule os volumes e áreas em dimensões
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com o volume de uma bola de raio
em
, denotado por
, e com a sua “área de fronteira”
. Vamos usar dois ingredientes principais:
- O Teorema Fundamental do Cálculo aplicado à função
. - O argumento de homogeneidade ou “escala” de
: dilatar o espaço por fator multiplica volumes por .
Passo 2
Para mostrar que
note que, para
pequeno,
é o volume do “casco” entre as esferas de raios
e
. Como o casco tem espessura
e “área de seção” aproximadamente
, temos
Tomando
e usando o Teorema Fundamental do Cálculo, segue o resultado.
Passo 3
Para ver que
observe que dilatar
por fator
leva a bola unitária
na bola
. Como a dilatação multiplica volumes por
, definindo
segue imediatamente
Passo 4
Diferenciando
em
e usando o Passo 2, obtemos
Em particular, para
temos
Passo 5
O valor de
pode ser expresso em termos da função Gama:
Para
podemos calcular explicitamente
usando
e
,
.
Passo 6
Cálculo de
, volumes e áreas em cada dimensão:
-
:
.
, . -
:
.
, . -
:
.
, . -
:
.
, . -
:
.
, .
Passo 7
Interpretação geométrica para
:
-
: bola é intervalo de comprimento . -
: bola é disco de área e “área” de contorno (circunferência) . -
: bola é esfera sólida de volume e superfície .
Para
obtemos as fórmulas de hiperesfera já conhecidas em termos de
e
-multiplicadores.
Resposta
(i)
(ii)
(iii) em particular
(iv) Para ,
(ii)
(iii)
(iv) Para
com as fórmulas de comprimento, área, volume e hipervolumes conhecidas.