1. Um sólido é formado retirando-se concavidades semi-esféricas das extremidades de um cilindro. Se a área total do cilindro é de 28 pi cm^2, ache o raio do cilindro que maximiza o volume do sólido.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cilindro ao qual foram retiradas duas concavidades hemisféricas nas extremidades, e que a área total desse cilindro é de 28pi,c m^2. Queremos achar o raio r que maximiza o volume do sólido resultante. Vamos usar:
– Fórmula da área total do cilindro: A=2pi r^2+2pi r h.
– Fórmula do volume do sólido = volume do cilindro menos volume de duas hemisférias.
– Condição de otimização via derivada nula.

Passo 2

Da condição de área total 2pi r^2+2pi r h=28pi, isolamos h:
2pi r h = 28pi - 2pi r^2 Longrightarrow h = 28pi -2pi r^22pi r = 28-2r^22r = 14 - r^2r

Passo 3

O volume do sólido é
V = underbracepi r^2 hcilindro ;-;2;underbracel(tfrac12cdottfrac43pi r^3r)cada hemisfério = pi r^2 h - 43pi r^3 é
Substituindo h=(14 - r^2)/r:
V(r) = pil(r^2cdot14-r^2rr) -43pi r^3 = pil(14r - r^3 - tfrac43r^3r) = pil(14r - tfrac73r^3r)

Passo 4

Para maximizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
dVdr = pil(14 - 7r^2r) stackrel!=0 Longrightarrow 14 -7r^2=0 Longrightarrow r^2=2 Longrightarrow r=raiz2 (escolhemos o positivo)
A segunda derivada é d^2Vdr^2=-14pi,r<0 para r>0, confirmando máximo.

Resposta

O raio que maximiza o volume do sólido é r = raiz2,cm

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