Exercício 1) Para as notações de igualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
\gamma: \rho(x, y)=y-x=0;

Passo 1

O enunciado dá o lugar geométrico \gamma definido por
\rho(x,y)=y - x = 0.
O objetivo é descrever esse lugar geométrico de duas maneiras:
  1. Analiticamente (forma implícita e, se for útil, forma paramétrica).
  2. Geometricamente (que curva/linha é essa no plano).

Passo 2

Para obter a forma analítica implícita, basta isolar uma das variáveis na equação dada:
y - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x.
Logo, em forma implícita
\gamma = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = x\}.

Passo 3

Podemos também dar uma forma paramétrica da reta: basta escolher um parâmetro t\in\mathbb{R}\) para representar \(x\), de modo que \[\begin{cases} x(t) = t,\\\ y(t) = t. \end{cases}
Isso cobre exatamente todos os pontos (t,t)\] com \(t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Geometricamente, a curva y = x é uma reta que:
– Passa pela origem (0,0).
– Tem vetor diretor \bigl(1,1\bigr).
– Forma um ângulo de 45^\circ (ou \pi/4) com o eixo Ox.
– É conhecida como bissetriz dos quadrantes I e III.

Resposta

\displaystyle \gamma = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = x\}, a reta que passa pela origem e faz 45^\circ com o eixo Ox.

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