Exercício 1) Para as notações de igualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
\lambda: x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0;

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico descrito pela equação
x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0.
Estamos no conteúdo de geometria analítica de circunferências e vamos completar quadrados para identificar o centro e o raio.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y:
x^{2}-2x \quad\text{e}\quad y^{2}-4y,
e então adicionamos e subtraímos os termos necessários para completar cada quadrado:

Passo 3

x^{2}-2x+1\;-\!1 \;+\; y^{2}-4y+4\;-\!4 \;+\;1 = 0
isto é,
(x-1)^{2} -1 + (y-2)^{2} -4 +1 = 0
\Longrightarrow (x-1)^{2} + (y-2)^{2} -4 = 0
\Longrightarrow (x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 4.

Passo 4

Analiticamente temos a forma padrão de circunferência
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 2^{2},
portanto o centro é (1,2) e o raio é 2. Geometricamente, o lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos do plano cuja distância ao ponto (1,2) é igual a 2.

Resposta

Analítica: (x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 4.
Geométrica: circunferência de centro (1,2) e raio 2.

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