Exercício 1) Para as notações de igualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
P: z-x^{2}-y^{2}=0;

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar o lugar geométrico em \mathbb{R}^3 definido pela equação
P: z - x^{2} - y^{2} = 0.
Precisamos dar uma descrição analítica (ou seja, escrever explicitamente o conjunto de pontos) e uma descrição geométrica (qual é a superfície que isso representa).

Passo 2

Para a descrição analítica, basta isolar z. A equação fica
z = x^{2} + y^{2}.
Logo
P = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid z = x^{2} + y^{2}\}.

Passo 3

Para a descrição geométrica, notamos que
  1. O vértice da superfície está em (0,0,0), pois é aí que x=y=0 e z=0.
  2. Como z = x^2 + y^2\ge 0 para todo (x,y), a superfície “abre” para cima, ficando acima do plano z=0.
  3. As interseções com planos horizontais z = c (com c\ge0) são círculos de raio \sqrt{c}.
  4. As interseções com planos verticais, por exemplo y=0 ou x=0, são parábolas.
Tudo isso caracteriza um paraboloide circular de revolução com eixo no eixo z.

Resposta

Analítica:
P = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid z = x^{2} + y^{2}\}.
Geométrica: paraboloide circular de revolução com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo z, que se abre para cima.

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