Exercício 1) Para as notações de igualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
C: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície em \mathbb{R}^3 definida pela equação z = \sqrt{x^{2}+y^{2}} e pede para descrever, analítica e geometricamente, o lugar geométrico desse conjunto.

Passo 2

Para tratar analiticamente, observamos que a raiz quadrada produz apenas valores não negativos. Logo, a equação implica simultaneamente
z\ge0 \quad\text{e}\quad z^{2}=x^{2}+y^{2}.
Portanto, o lugar geométrico é
C = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z^{2}=x^{2}+y^{2},\;z\ge0\}.

Passo 3

Geometricamente, a equação z^{2}=x^{2}+y^{2} sem restrição de sinal em z descreve um cone duplo (duas napas). A condição z\ge0 seleciona apenas a nappe superior. Esse é um cone circular reto de vértice na origem e semi-ângulo de 45^\circ entre a geratriz e o plano xy, com eixo ao longo do eixo z.

Resposta

Analiticamente,
C = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z^{2}=x^{2}+y^{2},\;z\ge0\}.
Geometricamente, é a nappe superior de um cone circular reto de vértice na origem e semi-ângulo de 45^\circ.

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