Exercício 1) Para as notações de igualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
C: z^{2}=x^{2}+y^{2};

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico em \mathbb{R}^3 definido pela equação
z^2 = x^2 + y^2.
O conteúdo é geometria analítica de superfícies de segundo grau (quadráticas).

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando z:
z^2 = x^2 + y^2 \;\Longrightarrow\; z = \pm\sqrt{x^2 + y^2}.
Isso mostra que, para cada par (x,y), existem duas possíveis alturas z.

Passo 3

Reconhecemos que essa é a equação geral de um cone duplo circular reto com vértice na origem. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde x = r\cos\theta e y = r\sin\theta, a equação fica
z^2 = r^2 \;\Longrightarrow\; z = \pm r.

Passo 4

Geometricamente, trata-se de um cone de vértice em (0,0,0), eixo ao longo do eixo z, com duas nappes simétricas em relação ao plano z=0 e semi-ângulo de abertura de 45^\circ (pois \tan\alpha = r/|z| = 1).

Resposta

Analiticamente:
C = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z = +\sqrt{x^2+y^2}\bigr\} \;\cup\; \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z = -\sqrt{x^2+y^2}\bigr\}.
Geometricamente: um cone duplo circular reto de vértice na origem, eixo no eixo z e semi-ângulo de 45^\circ.

Exercícios relacionados