Exercício 1) Para as notações de igualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
H: z=x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície H em \mathbb{R}^3 definida pela equação
z = x^{2} - y^{2}
e pede que a descrevamos analiticamente (como conjunto ou parametrização) e geometricamente (que tipo de superfície é, quais são seus traços).

Passo 2

Descrição analítica:
O lugar geométrico é o conjunto
H = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z = x^{2}-y^{2}\bigr\}.
Uma parametrização natural é
\Phi(u,v) = \bigl(u,\;v,\;u^{2}-v^{2}\bigr),\quad (u,v)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Descrição geométrica via traços e classificação:
  1. Traço em planos horizontais z = c:
x^{2}-y^{2} = c
é uma hipérbole (se c\neq0) ou par de retas x=\pm y (se c=0).
2. Traço em planos verticais x = x_{0}:
z = x_{0}^{2} - y^{2}
é uma parábola no plano (y,z) com concavidade para baixo.
3. Traço em planos verticais y = y_{0}:
z = x^{2} - y_{0}^{2}
é uma parábola no plano (x,z) com concavidade para cima.
Esses traços mostram que H é uma superfície do tipo “sela”, também chamada de hiperbolóide parabólico de duas folhas opostas, ou simplesmente hiperbolic paraboloid.

Resposta

Analítica:
H = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z = x^{2}-y^{2}\bigr\},
ou parametrizada por \Phi(u,v) = (u,v,u^{2}-v^{2}).
Geométrica: H é um hiperbolic paraboloid (superfície em sela), pois seus traços horizontais são hipérboles e seus traços verticais são parábolas com concavidades opostas.

Exercícios relacionados