Exercício 3.1.7. Um número inteiro no intervalo que vai de 1 a 200 é escolhido aleatoriamente. Qual a probabilidade de que
ele seja divisível por 2 ou por 3 ou por 5?

Passo 1

Resumindo: escolhemos um inteiro aleatório de 1 a 200 e queremos a probabilidade de que ele seja divisível por 2 ou por 3 ou por 5. Denotamos
A = mú<iplos de 2ú,
B = mú<iplos de 3ú,
C = mú<iplos de 5ú.
Para contar |Acup Bcup C| usamos o princípio da inclusão-exclusão:
|Acup Bcup C| = |A| + |B| + |C| ; - ; |Acap B| - |Acap C| - |Bcap C| ; + ; |Acap Bcap C|

Passo 2

Calcular quantos são múltiplos de cada um:
|A| = lfloor 2002 rfloor = 100, |B| = lfloor 2003 rfloor = 66, |C| = lfloor 2005 rfloor = 40

Passo 3

Calcular os múltiplos dos pares (os mcm):
|Acap B| = lfloor 2006 rfloor = 33, |Acap C| = lfloor 20010 rfloor = 20, |Bcap C| = lfloor 20015 rfloor = 13

Passo 4

Calcular os múltiplos de 2, 3 e 5 simultaneamente (múltiplos de 30):
|Acap Bcap C| = lfloor 20030 rfloor = 6

Passo 5

Aplicando a inclusão-exclusão:
|Acup Bcup C| = 100 + 66 + 40 - (33 + 20 + 13) + 6 = 206 - 66 + 6 = 146

Passo 6

A probabilidade pedida é
|Acup Bcup C|200 = 146200 = 73100

Resposta

73100

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