A concentração média de zinco recuperado de uma amostra de medições desse material em 36 locações diferentes é 2,6 gramas por litro. Determine o intervalo de confiança de 95 \% e 99 \% para a média de concentração de zinco no rio. Assuma que o desvio padrão da população seja 0,3 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
  • Amostra com n=36 medições.
  • Média amostral da concentração de zinco: \bar{x}=2,6 gramas por litro.
  • Desvio padrão da população (assumido conhecido): \sigma=0,3 gramas por litro.
  • Pergunta 1: determinar o intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira \mu.
  • Pergunta 2: determinar o intervalo de confiança de 99\% para a média verdadeira \mu.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando o desvio padrão da população \sigma é conhecido, a distribuição amostral da média \bar{X} é aproximadamente normal (ou exatamente normal se a população for normal) com média \mu e desvio padrão chamado erro padrão (standard error):
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.ã
Um intervalo de confiança central de nível 1-\alpha para \mu é dado por
\bar{x} \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{1-\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão (quantil) que deixa área \alpha/2 em cada cauda. Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • \sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra,
  • z_{1-\alpha/2} é o número que encontramos em tabelas da normal padrão (por ex. z_{0,975}=1{,}96 para 95\%).

Passo 3

Calcular o erro padrão com os números do enunciado:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,3}{\sqrt{36}} = \frac{0,3}{6} = 0,05.
Ou seja, a média amostral varia tipicamente 0,05 à volta da média verdadeira devido à variação amostral.

Passo 4

Escolher os valores críticos z_{1-\alpha/2} para os níveis desejados:
  • Para intervalo de 95\%, \alpha=0{,}05 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}=1{,}96.
  • Para intervalo de 99\%, \alpha=0{,}01 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}995}\approx 2{,}5758.

Passo 5

Calcular as margens de erro ( m) para cada nível:
Para 95\%:
m_{95} = 1{,}96 \times 0{,}05 = 0{,}098.
Para 99\%:
m_{99} = 2{,}5758 \times 0{,}05 \approx 0{,}12879.

Passo 6

Construir os intervalos somando e subtraindo a margem de erro da média \bar{x}=2{,}6:
Para 95\%:
\text{limite inferior} = 2{,}6 - 0{,}098 = 2{,}502,
\text{limite superior} = 2{,}6 + 0{,}098 = 2{,}698.
Portanto o intervalo de 95\% é [2{,}502,\;2{,}698].
Para 99\%:
\text{limite inferior} = 2{,}6 - 0{,}12879 \approx 2{,}47121,
\text{limite superior} = 2{,}6 + 0{,}12879 \approx 2{,}72879.
Portanto o intervalo de 99\% é aproximadamente [2{,}471,\;2{,}729] (arredondando a três casas decimais).

Passo 7

Interpretação prática rápida (modo prova): dizer que "o intervalo de confiança de 95\% significa que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho da mesma população, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média \mu". Em prova, basta apresentar a fórmula, calcular o erro padrão, multiplicar pelo z adequado e dar os limites — como fizemos acima. Você já mandou bem!

Resposta

95\% CI: [2{,}502,\;2{,}698]
99\% CI: [2{,}47121,\;2{,}72879]

Exercícios relacionados