A concentração média de zinco recuperado de uma amostra de medições desse material em 36 locações diferentes é 2,6 gramas por litro. Determine o intervalo de confiança de
e
para a média de concentração de zinco no rio. Assuma que o desvio padrão da população seja 0,3 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
- Amostra com
medições. - Média amostral da concentração de zinco:
gramas por litro. - Desvio padrão da população (assumido conhecido):
gramas por litro. - Pergunta 1: determinar o intervalo de confiança de
para a média verdadeira . - Pergunta 2: determinar o intervalo de confiança de
para a média verdadeira .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando o desvio padrão da população é conhecido, a distribuição amostral da média
é aproximadamente normal (ou exatamente normal se a população for normal) com média
e desvio padrão chamado erro padrão (standard error):
Quando o desvio padrão da população
Um intervalo de confiança central de nível
para
é dado por
onde
é o valor crítico da distribuição normal padrão (quantil) que deixa área
em cada cauda. Aqui:
-
é a média amostral, -
é o desvio padrão da população, -
é o tamanho da amostra, -
é o número que encontramos em tabelas da normal padrão (por ex. para ).
Passo 3
Calcular o erro padrão com os números do enunciado:
Ou seja, a média amostral varia tipicamente
à volta da média verdadeira devido à variação amostral.
Passo 4
Escolher os valores críticos
para os níveis desejados:
- Para intervalo de
, e . - Para intervalo de
, e .
Passo 5
Calcular as margens de erro (
) para cada nível:
Para :
Para
Para
:
Passo 6
Construir os intervalos somando e subtraindo a margem de erro da média
:
Para
:
Portanto o intervalo de
é
.
Para
:
Portanto o intervalo de
é aproximadamente
(arredondando a três casas decimais).
Passo 7
Interpretação prática rápida (modo prova): dizer que "o intervalo de confiança de
significa que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho da mesma população, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira média
". Em prova, basta apresentar a fórmula, calcular o erro padrão, multiplicar pelo
adequado e dar os limites — como fizemos acima. Você já mandou bem!