Exercício 1.1 Um objeto isolado de massa m pode ser dividido em duas partes de massas m_{1} e m_{2}. Suponha que os centros dessas partes fiquem então separados por uma distância r. Qual razão entre as massas m_{1} / m_{2} produziria a maior força gravitacional entre as partes?

Passo 1

O enunciado diz que um objeto de massa m é dividido em duas partes de massas m_{1} e m_{2}, separadas por uma distância r. Queremos escolher m_{1} e m_{2} de modo a maximizar a força gravitacional entre elas. Vamos usar a lei da gravitação universal e otimização com restrição m_{1}+m_{2}=m.

Passo 2

Pela lei de Newton, a força entre as duas massas é
F = \frac{G\,m_{1}\,m_{2}}{r^{2}}.
Como m_{2}=m-m_{1}, basta analisar a função
f(m_{1}) = m_{1}\,(m - m_{1})
já que F é proporcional a f(m_{1}).

Passo 3

Para achar o máximo de f(m_{1}) no intervalo [0,m], calculamos a derivada:
f'(m_{1}) = m - 2\,m_{1}.
Igualando a zero,
m-2\,m_{1}=0 \quad\Longrightarrow\quad m_{1} = \frac{m}{2}.
Então m_{2}=m-m_{1}=\tfrac{m}{2}.

Resposta

\frac{m_{1}}{m_{2}} = 1.

Exercícios relacionados