Exercício 1: Obtenha a equação de Schrodinger inciando da equação da energia mecânica e utilizando o caso da partícula livre, representada por uma onda plana, ou seja,
\Psi(x, t)=\cos (k x-\omega t)+\gamma \sin (k x-\omega t)

Passo 1

O enunciado fornece a forma da função de onda para a partícula livre e pede para a partir da equação da energia mecânica obter a equação de Schrödinger. Informações e pedidos claros:
  • Função de onda fornecida: \Psi(x,t)=\cos(kx-\omega t)+\gamma\sin(kx-\omega t).
  • A partícula é livre, logo a energia mecânica clássica é puramente cinética:
E=\frac{p^{2}}{2m}.
  • Objetivo: obter a equação de Schrödinger dependente do tempo para a partícula livre (forma diferencial relacionando derivadas temporais e espaciais de \Psi).
  • Observação sobre a função dada: ela é escrita como combinação de cosseno e seno. Para derivar a equação de Schrödinger de maneira direta é muito conveniente trabalhar com a forma exponencial complexa da onda plana; veremos por que nos passos seguintes e como isso se relaciona com a combinação dada.

Passo 2

Relações fundamentais de onda-partícula (De Broglie / Planck) que vamos usar: energia e momento estão relacionados com frequência e número de onda por
p=\hbar k,\qquad E=\hbar\omega,
onde \hbar é a constante de Planck reduzida. Estas relações ligam a física clássica ( E,p ) à descrição ondulatória ( \omega,k ). Vou usar explicitamente essas igualdades mais adiante para substituir E e p.

Passo 3

Explicar por que passar para a forma complexa: a combinação \cos\varphi+\gamma\sin\varphi com \varphi=kx-\omega t pode representar, dependendo de \gamma, a parte real ou imaginária de uma exponencial complexa. De fato, usando a identidade de Euler,
e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.
Se escolhermos \gamma=i obtemos exatamente
\Psi(x,t)=\cos\varphi+i\sin\varphi=e^{i\varphi}.
Portanto a expressão geral dada pelo enunciado contém como caso particular (escolhendo \gamma=i) a onda plana complexa e^{i(kx-\omega t)}. Trabalhar com e^{i(kx-\omega t)} é útil porque derivadas temporais e espaciais atuam de maneira simples (produzindo fatores -i\omega e ik), o que facilita a ligação com operadores \hat{E} e \hat{p}. Observação: a equação de Schrödinger é naturalmente complexa — a solução física pode ser a parte real, a parte imaginária ou uma combinação — porém a forma complexa é a ferramenta direta para a dedução.

Passo 4

Calcular derivadas da onda plana complexa. Defina
\Psi(x,t)=e^{i(kx-\omega t)}.
As derivadas são simples por regra da cadeia:
\frac{\partial\Psi}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial t} e^{i(kx-\omega t)} = e^{i(kx-\omega t)}\cdot i\frac{\partial}{\partial t}(kx-\omega t) = e^{i(kx-\omega t)}\cdot i(-\omega) = -i\omega\,\Psi,
ou escrevendo de outra forma
i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hbar\omega\,\Psi.
E para as derivadas espaciais:
\frac{\partial\Psi}{\partial x}= i k\,\Psi, \qquad \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} = (ik)^{2}\Psi = -k^{2}\Psi.
Multiplicando por -\dfrac{\hbar^{2}}{2m} obtemos
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,\Psi.

Passo 5

Relacionar essas expressões com a energia clássica via as relações de De Broglie e a energia mecânica. A energia clássica para partícula livre é E=p^{2}/(2m). Substituindo p=\hbar k e E=\hbar\omega obtemos a relação de dispersão
\hbar\omega = \frac{(\hbar k)^{2}}{2m} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}.
Agora compare as expressões obtidas nas derivadas:
  • Pela derivada temporal, i\hbar\partial_{t}\Psi = \hbar\omega\,\Psi.
  • Pela derivada espacial, -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\partial_{x}^{2}\Psi = \dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\Psi.
Usando a relação de dispersão \hbar\omega=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m} vemos que os dois lados são iguais, isto é,
i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}.

Passo 6

Interpretar o resultado como uma regra geral (operatorial). O que fizemos para a onda plana mostra que as substituições
E\mapsto i\hbar\frac{\partial}{\partial t},\qquad p\mapsto -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}
são consistentes quando atuam sobre funções de onda da forma exponencial, porque elas transformam as quantidades E e p em operadores diferenciais que têm as exponenciais como autofunções com autofatores \hbar\omega e \hbar k. Aplicando a equivalência E=\dfrac{p^{2}}{2m} no nível de operadores obtemos a equação de Schrödinger para partícula livre:
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi(x,t).
Esta é a equação dependente do tempo procurada. É uma equação linear de primeira ordem no tempo e de segunda ordem no espaço.

Passo 7

Comentários finais pedagógicos e encorajadores: a dedução acima usou a onda plana complexa e^{i(kx-\omega t)} porque assim as derivadas produzem fatores simples que correspondem aos operadores energia e momento. A forma real dada no enunciado ( \cos+\gamma\sin) é uma combinação linear das partes real e imaginária da exponencial; para obter a dedução de forma direta escolhemos \gamma=i (ou trabalhamos com a exponencial complexa). Não se assuste: em provas, esse caminho (usar e^{i(kx-\omega t)}, aplicar \partial_t e \partial_x^2, usar E=\hbar\omega e p=\hbar k, e igualar usando E=p^2/2m) é o procedimento padrão e rápido.

Resposta

\hbar\omega=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}
i\hbar\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi(x,t)}{\partial x^{2}}.

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