Exercício 1: Obtenha a equação de Schrodinger inciando da equação da energia mecânica e utilizando o caso da partícula livre, representada por uma onda plana, ou seja,
Passo 1
O enunciado fornece a forma da função de onda para a partícula livre e pede para a partir da equação da energia mecânica obter a equação de Schrödinger. Informações e pedidos claros:
- Função de onda fornecida:
. - A partícula é livre, logo a energia mecânica clássica é puramente cinética:
- Objetivo: obter a equação de Schrödinger dependente do tempo para a partícula livre (forma diferencial relacionando derivadas temporais e espaciais de
). - Observação sobre a função dada: ela é escrita como combinação de cosseno e seno. Para derivar a equação de Schrödinger de maneira direta é muito conveniente trabalhar com a forma exponencial complexa da onda plana; veremos por que nos passos seguintes e como isso se relaciona com a combinação dada.
Passo 2
Relações fundamentais de onda-partícula (De Broglie / Planck) que vamos usar: energia e momento estão relacionados com frequência e número de onda por
onde
é a constante de Planck reduzida. Estas relações ligam a física clássica (
) à descrição ondulatória (
). Vou usar explicitamente essas igualdades mais adiante para substituir
e
.
Passo 3
Explicar por que passar para a forma complexa: a combinação
com
pode representar, dependendo de
, a parte real ou imaginária de uma exponencial complexa. De fato, usando a identidade de Euler,
Se escolhermos
obtemos exatamente
Portanto a expressão geral dada pelo enunciado contém como caso particular (escolhendo
) a onda plana complexa
. Trabalhar com
é útil porque derivadas temporais e espaciais atuam de maneira simples (produzindo fatores
e
), o que facilita a ligação com operadores
e
. Observação: a equação de Schrödinger é naturalmente complexa — a solução física pode ser a parte real, a parte imaginária ou uma combinação — porém a forma complexa é a ferramenta direta para a dedução.
Passo 4
Calcular derivadas da onda plana complexa. Defina
As derivadas são simples por regra da cadeia:
ou escrevendo de outra forma
E para as derivadas espaciais:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Relacionar essas expressões com a energia clássica via as relações de De Broglie e a energia mecânica. A energia clássica para partícula livre é
. Substituindo
e
obtemos a relação de dispersão
Agora compare as expressões obtidas nas derivadas:
- Pela derivada temporal,
. - Pela derivada espacial,
.
Usando a relação de dispersão
vemos que os dois lados são iguais, isto é,
Passo 6
Interpretar o resultado como uma regra geral (operatorial). O que fizemos para a onda plana mostra que as substituições
são consistentes quando atuam sobre funções de onda da forma exponencial, porque elas transformam as quantidades
e
em operadores diferenciais que têm as exponenciais como autofunções com autofatores
e
. Aplicando a equivalência
no nível de operadores obtemos a equação de Schrödinger para partícula livre:
Esta é a equação dependente do tempo procurada. É uma equação linear de primeira ordem no tempo e de segunda ordem no espaço.
Passo 7
Comentários finais pedagógicos e encorajadores: a dedução acima usou a onda plana complexa
porque assim as derivadas produzem fatores simples que correspondem aos operadores energia e momento. A forma real dada no enunciado (
) é uma combinação linear das partes real e imaginária da exponencial; para obter a dedução de forma direta escolhemos
(ou trabalhamos com a exponencial complexa). Não se assuste: em provas, esse caminho (usar
, aplicar
e
, usar
e
, e igualar usando
) é o procedimento padrão e rápido.