Exercício 6. Obtenha a forma exponencial da série de Fourier das funções dadas por
(a) f(t)=\operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=\operatorname{sen}(t) e pede: obter a forma exponencial da série de Fourier de f(t). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(t)=\operatorname{sen}(t).
  • Devemos escrever a série de Fourier na forma exponencial complexa, isto é, como
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 t},
com os coeficientes c_n apropriados.
  • Não foi dada outra informação, então assumimos o período padrão de \operatorname{sen}(t), que é 2\pi, e, consequentemente, a frequência angular fundamental será \omega_0=1.

Passo 2

O que é a forma exponencial e como encontrar os coeficientes? Vou explicar passo a passo e com calma. A série de Fourier complexa (ou forma exponencial) para uma função 2\pi-periódica f(t) é
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t},
onde os coeficientes c_n são dados por
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,e^{-i n t}\,dt.
Aqui:
  • n é um inteiro (pode ser negativo, zero ou positivo).
  • c_n é um número complexo que representa a contribuição da exponencial e^{i n t} na composição da função.
  • A integral média sobre um período garante que extraímos a componente de frequência n corretamente.
    Vou usar essa fórmula para encontrar os c_n de f(t)=\operatorname{sen}(t).

Passo 3

Primeira via simples e direta: usar a identidade de Euler para escrever \operatorname{sen}(t) em termos de exponenciais complexas. A identidade é
\operatorname{sen}(t)=\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2i}.
Isto é uma fórmula exata; aqui cada termo e^{i t} ou e^{-i t} já é da forma e^{i n t} com n=1 ou n=-1. Portanto podemos identificar imediatamente os coeficientes c_n comparando com a expansão
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t}.
Escrevendo \operatorname{sen}(t) na forma:
\operatorname{sen}(t)=\frac{1}{2i}\,e^{i t}-\frac{1}{2i}\,e^{-i t}.
Logo, comparando termo a termo:
  • O coeficiente na frente de e^{i t} (ou seja, n=1) é c_1=\dfrac{1}{2i}.
  • O coeficiente na frente de e^{-i t} (ou seja, n=-1) é c_{-1}=-\dfrac{1}{2i}.
  • Para todo outro n diferente de \pm 1, não há termo correspondente, então c_n=0.
Se preferir escrever c_1 e c_{-1} em forma com i no numerador:
\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2},\qquad -\frac{1}{2i}=\frac{i}{2},
portanto
c_1=-\frac{i}{2},\qquad c_{-1}=\frac{i}{2}.

Passo 4

Segunda via (por integral) — para entender por que todos os outros coeficientes são zero: aplicar a fórmula dos coeficientes
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}(t)\,e^{-i n t}\,dt.
Substituindo a forma exponencial de \operatorname{sen}(t):
\operatorname{sen}(t)=\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2i},
temos
c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1}{2i}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(e^{i(1-n)t}-e^{-i(1+n)t}\bigr)\,dt.
A integral de e^{i k t} em [-\pi,\pi] vale 2\pi quando k=0 e vale 0 quando k é inteiro diferente de zero (é a ortogonalidade das exponenciais). Assim só termos contribuem quando os expoentes são zero:
  • O primeiro integrando dá contribuição quando 1-n=0, isto é n=1.
  • O segundo integrando dá contribuição quando -1-n=0, isto é n=-1.
    Aplicando isso:
c_n=\frac{1}{2i}\bigl(\delta_{n,1}-\delta_{n,-1}\bigr),
onde \delta_{a,b} é o delta de Kronecker (vale 1 se a=b e 0 caso contrário). Assim novamente obtemos
c_1=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2},\qquad c_{-1}=-\frac{1}{2i}=\frac{i}{2},\qquad c_n=0\\ \text{para }n\neq\pm 1.

Passo 5

Escrevendo finalmente a série exponencial completa: como somente c_{1} e c_{-1} são não nulos, a soma infinita reduz-se a dois termos:
\operatorname{sen}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t} = c_{1} e^{i t}+c_{-1} e^{-i t} = -\frac{i}{2}\,e^{i t}+\frac{i}{2}\,e^{-i t},
o que coincide com a identidade de Euler usada no Passo 3 (bom sinal de consistência).

Resposta

\operatorname{sen}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t},\quad c_1=-\frac{i}{2},\; c_{-1}=\frac{i}{2},\; c_n=0\\ \text{para }n\neq\pm1.

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