Exercício 6. Obtenha a forma exponencial da série de Fourier das funções dadas por
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: obter a forma exponencial da série de Fourier de
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Devemos escrever a série de Fourier na forma exponencial complexa, isto é, como
com os coeficientes
apropriados.
- Não foi dada outra informação, então assumimos o período padrão de
, que é , e, consequentemente, a frequência angular fundamental será .
Passo 2
O que é a forma exponencial e como encontrar os coeficientes? Vou explicar passo a passo e com calma. A série de Fourier complexa (ou forma exponencial) para uma função
-periódica
é
onde os coeficientes
são dados por
Aqui:
-
é um inteiro (pode ser negativo, zero ou positivo). -
é um número complexo que representa a contribuição da exponencial na composição da função. - A integral média sobre um período garante que extraímos a componente de frequência
corretamente.
Vou usar essa fórmula para encontrar osde .
Passo 3
Primeira via simples e direta: usar a identidade de Euler para escrever
em termos de exponenciais complexas. A identidade é
Isto é uma fórmula exata; aqui cada termo
ou
já é da forma
com
ou
. Portanto podemos identificar imediatamente os coeficientes
comparando com a expansão
Escrevendo
na forma:
Logo, comparando termo a termo:
- O coeficiente na frente de
(ou seja, ) é . - O coeficiente na frente de
(ou seja, ) é . - Para todo outro
diferente de , não há termo correspondente, então .
Se preferir escrever
e
em forma com
no numerador:
portanto
Passo 4
Segunda via (por integral) — para entender por que todos os outros coeficientes são zero: aplicar a fórmula dos coeficientes
Substituindo a forma exponencial de
:
temos
A integral de
em
vale
quando
e vale
quando
é inteiro diferente de zero (é a ortogonalidade das exponenciais). Assim só termos contribuem quando os expoentes são zero:
- O primeiro integrando dá contribuição quando
, isto é . - O segundo integrando dá contribuição quando
, isto é .
Aplicando isso:
onde
é o delta de Kronecker (vale
se
e
caso contrário). Assim novamente obtemos
Passo 5
Escrevendo finalmente a série exponencial completa: como somente
e
são não nulos, a soma infinita reduz-se a dois termos:
o que coincide com a identidade de Euler usada no Passo 3 (bom sinal de consistência).