Exercício 4. Escreva a forma harmônica da série de Fourier de f(t)=|\operatorname{sen}(\pi t)| (obtida no exercício anterior). Obtenha também a série de Fourier e a sua forma harmônica da função g(t)=|\cos (\pi t)| (lembre que \operatorname{sen}(x+\pi / 2)=\cos (x).)

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
  • A função dada é f(t)=|\operatorname{sen}(\pi t)|. O enunciado pede: escrever a forma harmônica da série de Fourier de f (assume-se que já temos a série completa do exercício anterior).
  • Em seguida é pedido obter a série de Fourier de g(t)=|\cos(\pi t)| e também a forma harmônica dessa série.
  • Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): \operatorname{sen}(x+\pi/2)=\cos x, e as duas funções são periódicas (usaremos o período natural relacionado a \pi t — ver passo seguinte).
  • Não há outras informações a pedir: devemos apresentar a série de Fourier (coeficientes) e a forma harmônica (amplitude e fase dos harmônicos).

Passo 2

Escolha do período e convenção de série. Explico a convenção que vou usar (útil para calcular os coeficientes de maneira clara): usarei séries de Fourier para funções de período T=1. Com essa escolha a série geral (convenção clássica) é
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(2\pi n t)+b_n\sin(2\pi n t)\bigr),
onde, para T=1,
a_n=2\int_{0}^{1} f(t)\cos(2\pi n t)\,dt,\qquad b_n=2\int_{0}^{1} f(t)\sin(2\pi n t)\,dt,
e
a_0=2\int_{0}^{1} f(t)\,dt.
Comentário didático: aqui a_0/2 é a média (valor médio) da função no período; a_n mede a intensidade do cosseno de frequência n e b_n a intensidade do seno de frequência n. A frequência angular fundamental é 2\pi (porque T=1) e os harmônicos têm frequências 2\pi n.

Passo 3

Propriedades úteis de f e simplificações.
  • Primeiro note que \operatorname{sen}(\pi t) tem período 2, mas |\operatorname{sen}(\pi t)| muda de sinal a cada unidade de tempo, então fica com período T=1. Então a escolha T=1 é natural.
  • Paridade: para todo t, |\operatorname{sen}(\pi(-t))|=|\operatorname{sen}(-\pi t)|=|\,-\operatorname{sen}(\pi t)\,|=|\operatorname{sen}(\pi t)|. Logo f é função par. Consequência importante: todos os coeficientes b_n (coeficientes dos senos) são zero. Só teremos termos de cosseno. Isso facilita muito a conta.
  • Observação prática: em [0,1] temos \operatorname{sen}(\pi t)\ge 0, então |\operatorname{sen}(\pi t)|=\operatorname{sen}(\pi t) para t\in[0,1]. Por isso, ao integrar em 0 a 1 podemos simplesmente integrar \operatorname{sen}(\pi t).

Passo 4

Cálculo do termo constante a_0 (valor médio).
Usando a definição,
a_0=2\int_{0}^{1} |\operatorname{sen}(\pi t)|\,dt = 2\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(\pi t)\,dt
porque na janela [0,1] o seno é não-negativo. Agora calcule:
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(\pi t)\,dt =\left[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)\right]_{0}^{1} =-\frac{1}{\pi}\bigl(\cos\pi-\cos 0\bigr) =-\frac{1}{\pi}\bigl(-1-1\bigr)=\frac{2}{\pi}.
Logo
a_0=2\cdot\frac{2}{\pi}=\frac{4}{\pi},
e o termo constante da série (que aparece como a_0/2) é
\frac{a_0}{2}=\frac{2}{\pi}.
Interpretação: a média de |\operatorname{sen}(\pi t)| é \tfrac{2}{\pi}.

Passo 5

Cálculo dos coeficientes a_n (coeficientes de cosseno) para f.
Começamos da fórmula
a_n=2\int_{0}^{1} |\operatorname{sen}(\pi t)|\cos(2\pi n t)\,dt =2\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(\pi t)\cos(2\pi n t)\,dt.
Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\bigr).
Aplicando com A=\pi t e B=2\pi n t obtemos
\operatorname{sen}(\pi t)\cos(2\pi n t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(\pi(1+2n)t)+\operatorname{sen}(\pi(1-2n)t)\bigr).
Multiplicando por 2 (do a_n) cancela o \tfrac{1}{2} e dá
a_n=\int_{0}^{1}\operatorname{sen}\bigl(\pi(1+2n)t\bigr)\,dt+\int_{0}^{1}\operatorname{sen}\bigl(\pi(1-2n)t\bigr)\,dt.
Agora usamos a fórmula básica de integração
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(m\pi t)\,dt =\frac{1}{m\pi}\bigl(1-(-1)^m\bigr),
que implica que, se m é inteiro ímpar, o valor é \dfrac{2}{m\pi}, e se m é par, o valor é 0. No nosso caso m=1+2n e m=1-2n são sempre ímpares para todo n\in\mathbb{Z}, então cada integral dá
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}\bigl(\pi(1+2n)t\bigr)\,dt=\frac{2}{(1+2n)\pi}, \qquad \int_{0}^{1}\operatorname{sen}\bigl(\pi(1-2n)t\bigr)\,dt=\frac{2}{(1-2n)\pi}.
Somando:
a_n=\frac{2}{(1+2n)\pi}+\frac{2}{(1-2n)\pi} =\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{1+2n}+\frac{1}{1-2n}\right).
Colocando sobre denominador comum 1-4n^2 obtemos
a_n=\frac{4}{\pi(1-4n^2)}.
Observação: para n\ge 1 o denominador 1-4n^2 é negativo, então a_n é negativo; mas a expressão acima é correta para todo n\ge1. Relembrando que b_n=0 por paridade, já temos os coeficientes completos.

Passo 6

Escrever a série de Fourier de f\) e mencionar a forma harmônica (explicar o que é). A série de Fourier (conforme a convenção adotada) é, substituindo \(a_0\) e \(a_n\), \[\boxed{\, |\operatorname{sen}(\pi t)|=\frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(1-4n^2)}\cos(2\pi n t) \,}.
Didática sobre forma harmônica: a “forma harmônica” costuma ser escrita como uma soma de termos do tipo C_n\cos(2\pi n t+\varphi_n), onde C_n\ge0 é a amplitude do n-ésimo harmônico e \varphi_n sua fase. Como aqui b_n=0 e a_n é real, cada termo a_n\cos(2\pi n t) pode ser escrito como C_n\cos(2\pi n t+\varphi_n) com
C_n=|a_n|=\frac{4}{\pi(4n^2-1)},\qquad \varphi_n=\begin{cases}0,& a_n>0,\\[4pt]\pi,& a_n<0.\end{cases}
No nosso caso a_n=\dfrac{4}{\pi(1-4n^2)}=-\dfrac{4}{\pi(4n^2-1)}\] para \(n\ge1, então todos os a_n são negativos e podemos escrever a forma harmônica também assim:
\boxed{\, |\operatorname{sen}(\pi t)|=\frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(4n^2-1)}\cos\bigl(2\pi n t+\pi\bigr) \,},
porque \cos(2\pi n t+\pi)=-\cos(2\pi n t). Essa é a forma harmônica (cada C_n=\dfrac{4}{\pi(4n^2-1)} e fase \varphi_n=\pi).]

Passo 7

Obter a série de Fourier de g(t)=|\cos(\pi t)| via deslocamento temporal (uso prático do dado \operatorname{sen}(x+\pi/2)=\cos x).
Observe que
|\cos(\pi t)|=|\operatorname{sen}(\pi t+\tfrac{\pi}{2})|=|\operatorname{sen}\bigl(\pi(t+\tfrac{1}{2})\bigr)|,
ou seja, g(t)=f(t+\tfrac{1}{2}). Para séries de Fourier com período 1, a translação no tempo transforma os termos cossenoidais por um fator \cos(2\pi n (t+\tfrac{1}{2}))=\cos(2\pi n t + \pi n)=(-1)^n\cos(2\pi n t). Portanto, aplicando essa propriedade à série de f obtemos diretamente a série de g:
\begin{aligned} |\cos(\pi t)|&=|\operatorname{sen}(\pi(t+\tfrac{1}{2}))| =\frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(1-4n^2)}\cos\bigl(2\pi n(t+\tfrac{1}{2})\bigr)\\[4pt] &=\frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(1-4n^2)}(-1)^n\cos(2\pi n t). \end{aligned}
Portanto a série de Fourier de g (forma com cossenos) é
\boxed{\, |\cos(\pi t)|=\frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}\cos(2\pi n t) \,}.
Como g também é par, os coeficientes de seno são nulos.]

Passo 8

Forma harmônica da série de g.
Novamente podemos escrever cada termo da forma C_n\cos(2\pi n t+\varphi_n). Note que
\frac{4(-1)^n}{\pi(1-4n^2)} =\frac{4}{\pi(4n^2-1)}\cdot(-1)^{n+1},
ou, usando a fase explícita,
\frac{4(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}\cos(2\pi n t) =\frac{4}{\pi(4n^2-1)}\cos\bigl(2\pi n t + n\pi\bigr),
porque \cos(2\pi n t + n\pi)=(-1)^n\cos(2\pi n t). Assim uma forma harmônica limpa é
\boxed{\, |\cos(\pi t)|=\frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(4n^2-1)}\cos\bigl(2\pi n t+n\pi\bigr) \,},
onde para cada n a amplitude C_n=\dfrac{4}{\pi(4n^2-1)}\ge0 e a fase é \varphi_n=n\pi (que vale 0 ou \pi conforme n par ou ímpar).

Resposta

|\operatorname{sen}(\pi t)|=\dfrac{2}{\pi}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{4}{\pi(1-4n^2)}\cos(2\pi n t)
|\cos(\pi t)|=\dfrac{2}{\pi}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{4(-1)^n}{\pi(1-4n^2)}\cos(2\pi n t)
Forma harmônica de f: |\operatorname{sen}(\pi t)|=\dfrac{2}{\pi}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{4}{\pi(4n^2-1)}\cos\bigl(2\pi n t+\pi\bigr)
Forma harmônica de g: |\cos(\pi t)|=\dfrac{2}{\pi}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{4}{\pi(4n^2-1)}\cos\bigl(2\pi n t+n\pi\bigr)

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