Exercício 4. Escreva a forma harmônica da série de Fourier de
(obtida no exercício anterior). Obtenha também a série de Fourier e a sua forma harmônica da função
(lembre que
.)
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
- A função dada é
. O enunciado pede: escrever a forma harmônica da série de Fourier de (assume-se que já temos a série completa do exercício anterior). - Em seguida é pedido obter a série de Fourier de
e também a forma harmônica dessa série. - Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
, e as duas funções são periódicas (usaremos o período natural relacionado a — ver passo seguinte). - Não há outras informações a pedir: devemos apresentar a série de Fourier (coeficientes) e a forma harmônica (amplitude e fase dos harmônicos).
Passo 2
Escolha do período e convenção de série. Explico a convenção que vou usar (útil para calcular os coeficientes de maneira clara): usarei séries de Fourier para funções de período
. Com essa escolha a série geral (convenção clássica) é
onde, para
,
e
Comentário didático: aqui
é a média (valor médio) da função no período;
mede a intensidade do cosseno de frequência
e
a intensidade do seno de frequência
. A frequência angular fundamental é
(porque
) e os harmônicos têm frequências
.
Passo 3
Propriedades úteis de
e simplificações.
- Primeiro note que
tem período , mas muda de sinal a cada unidade de tempo, então fica com período . Então a escolha é natural. - Paridade: para todo
, . Logo é função par. Consequência importante: todos os coeficientes (coeficientes dos senos) são zero. Só teremos termos de cosseno. Isso facilita muito a conta. - Observação prática: em
temos , então para . Por isso, ao integrar em a podemos simplesmente integrar .
Passo 4
Cálculo do termo constante
(valor médio).
Usando a definição,
Usando a definição,
porque na janela
o seno é não-negativo. Agora calcule:
Logo
e o termo constante da série (que aparece como
) é
Interpretação: a média de
é
.
Passo 5
Cálculo dos coeficientes
(coeficientes de cosseno) para
.
Começamos da fórmula
Começamos da fórmula
Usamos a identidade trigonométrica
Aplicando com
e
obtemos
Multiplicando por
(do
) cancela o
e dá
Agora usamos a fórmula básica de integração
que implica que, se
é inteiro ímpar, o valor é
, e se
é par, o valor é
. No nosso caso
e
são sempre ímpares para todo
, então cada integral dá
Somando:
Colocando sobre denominador comum
obtemos
Observação: para
o denominador
é negativo, então
é negativo; mas a expressão acima é correta para todo
. Relembrando que
por paridade, já temos os coeficientes completos.
Passo 6
Escrever a série de Fourier de
Didática sobre forma harmônica: a “forma harmônica” costuma ser escrita como uma soma de termos do tipo
, onde
é a amplitude do n-ésimo harmônico e
sua fase. Como aqui
e
é real, cada termo
pode ser escrito como
com
No nosso caso
, então todos os
são negativos e podemos escrever a forma harmônica também assim:
porque
. Essa é a forma harmônica (cada
e fase
).]
Passo 7
Obter a série de Fourier de
via deslocamento temporal (uso prático do dado
).
Observe que
Observe que
ou seja,
. Para séries de Fourier com período
, a translação no tempo transforma os termos cossenoidais por um fator
. Portanto, aplicando essa propriedade à série de
obtemos diretamente a série de
:
Portanto a série de Fourier de
(forma com cossenos) é
Como
também é par, os coeficientes de seno são nulos.]
Passo 8
Forma harmônica da série de
.
Novamente podemos escrever cada termo da forma . Note que
Novamente podemos escrever cada termo da forma
ou, usando a fase explícita,
porque
. Assim uma forma harmônica limpa é
onde para cada
a amplitude
e a fase é
(que vale
ou
conforme
par ou ímpar).
Resposta
Forma harmônica de
:
Forma harmônica de
: