Exercício 5. Obtenha a série de Fourier, assim como a sua forma harmônica, da função
f(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & t \in(0,1) \\\\ -1, & t \in(1,4) \end{array}\right\}
satisfazendo f(0)=f(1)=0 e f(t+4)=f(t) para todo t \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) a série de Fourier da função periódica de período 4\) dada por
\[f(t)=\begin{cases} 1, & t\in(0,1),\\[4pt] -1, & t\in(1,4), \end{cases}
com as condições f(0)=f(1)=0\] e \(f(t+4)=f(t) para todo t\in\mathbb{R}; e (ii) a forma harmônica (ou seja, escrever cada termo como um cosseno com amplitude e fase).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{Período } T=4.í
A função vale 1 no intervalo (0,1) e -1 em (1,4). Os pontos t=0 e t=1 têm valor 0, o que só importa para os valores pontuais (a série representa o valor médio dos limites laterais nesses pontos). Não há figura nem outra informação; tudo necessário está explicitado acima.]
Passo 2
Vou usar a forma trigonométrica usual da série de Fourier para funções de período T. Primeiro defino os símbolos e as fórmulas que vamos usar (explico o que cada coisa significa):
\omega_0=\frac{2\pi}{T}
é a frequência angular fundamental. A série de Fourier, na forma padrão, é
No nosso caso T=4, então \omega_0=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}. Agora vamos calcular a_0,a_n,b_n usando a definição por integrais, sempre dividindo o período nas partes onde f tem valores diferentes: de 0 a 1 vale 1, de 1 a 4 vale -1.
Observação prática (útil na prova): os valores de \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) e \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) obedecem um padrão periódico em n (módulo 4), então muitos termos se simplificam:
Se n=4k então \sin(\tfrac{n\pi}{2})=0 e \cos(\tfrac{n\pi}{2})=1, logo a_n=b_n=0.
Se n=4k+1 então \sin(\tfrac{n\pi}{2})=1, \cos(\tfrac{n\pi}{2})=0, então a_n=\dfrac{2}{n\pi}, b_n=\dfrac{2}{n\pi}.
Se n=4k+2 então \sin(\tfrac{n\pi}{2})=0, \cos(\tfrac{n\pi}{2})=-1, então a_n=0, b_n=\dfrac{4}{n\pi}.
Se n=4k+3 então \sin(\tfrac{n\pi}{2})=-1, \cos(\tfrac{n\pi}{2})=0, então a_n=-\dfrac{2}{n\pi}, b_n=\dfrac{2}{n\pi}.
Passo 7
Passando para a forma harmônica (amplitude e fase). Para cada n\ge1 podemos escrever
com A_n e \varphi_n dados pelas fórmulas/casos acima. Isso responde ao pedido: primeiro a série trigonométrica explícita (Passo 6) e depois a mesma série escrita termo a termo como cossenos com amplitude e fase (Passo 7).