Exercício 7. Obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine se as séries infinitas são convergentes ou divergentes, se for convergente encontre sua soma.
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) obter uma fórmula para o termo parcial
(ou seja, a soma dos
primeiros termos) da série
e (2) determinar se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar a sua soma. As informações dadas são os termos gerais da série
para
.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais — isso é uma técnica que transforma uma fração racional em soma de frações mais simples. Suponha que exista uma decomposição da forma
onde
e
são constantes que vamos achar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma igualdade de polinômios:
Agora expandimos e agrupamos termos em
:
Para que isso seja verdade para todo
, os coeficientes do mesmo grau devem ser iguais. Assim temos o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda,
então
. Portanto a decomposição é
Passo 3
Observe que o termo geral agora é uma diferença de duas frações cujos denominadores são termos consecutivos da sequência ímpar. Essa forma gera uma soma telescópica: quando somamos vários termos, muitos termo internos se cancelam. Escrevendo isso de forma clara,
Passo 4
Calculemos a soma parcial
, isto é, a soma dos
primeiros termos:
Agora escrevemos explicitamente os primeiros termos da soma para ver o cancelamento:
Note que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Todos os termos internos se cancelam, sobrando apenas os extremos.
Passo 5
Após o cancelamento telescópico, a soma dentro do parêntese reduz-se a
Multiplicando por
(do fator que estava fora da soma), obtemos a fórmula para a soma parcial:
Passo 6
Simplificamos a expressão de
para uma forma mais direta. Calculando:
Portanto obtemos a fórmula compacta
Passo 7
Para verificar convergência da série infinita, analisamos o limite de
quando
. Calculamos
Dividindo numerador e denominador por
(técnica padrão para límtes de racionais em
):
Como o limite das somas parciais existe e vale
, a série é convergente e sua soma é
.