Exercício 7. Obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine se as séries infinitas são convergentes ou divergentes, se for convergente encontre sua soma.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) obter uma fórmula para
— a soma parcial dos primeiros
termos da série — em termos de
; (2) decidir se a série infinita é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar sua soma.
As informações dadas são: a série é
As informações dadas são: a série é
Não há outras informações externas nem figuras. A partir disso precisamos identificar o termo geral e a soma parcial.
Passo 2
Identificamos o termo geral da sequência (o
-ésimo termo) que está sendo somada. Para cada
o termo é
Vamos reescrever
de forma que fique claro o tipo da série:
Isso é exatamente a forma de uma progressão geométrica: o primeiro termo é
(quando
) e a razão é
(cada termo é obtido multiplicando o anterior por
).
Passo 3
Aula rápida sobre soma parcial de uma série geométrica: se temos uma progressão geométrica cujos termos são
, a soma parcial
(soma dos primeiros
termos) obedece ao procedimento clássico: escrevemos
Multiplicando por
obtemos
Subtraindo as duas expressões:
ou seja
Daí a fórmula geral da soma parcial:
válida sempre que
. Aqui
é o primeiro termo e
a razão;
é a potência da razão. Essa fórmula é muito útil na prova porque reduz a soma de
termos a uma expressão fechada.
Passo 4
Agora aplicamos essa fórmula ao nosso caso concreto. Temos
e
. Substituindo na fórmula:
Calculamos o denominador
. Então
Multiplicando numerador e denominador ou dividindo por
(ou seja multiplicando por
):
Essa é a fórmula pedida para
em termos de
.
Passo 5
Agora decidimos sobre a convergência da série infinita. A soma da série infinita (quando converge) é o limite das somas parciais:
Usamos a expressão encontrada:
Sabemos que, para
,
quando
. Aqui
e
, logo
. Portanto
Assim a série converge (porque a razão tem módulo menor que 1) e sua soma é
.
Resposta
A série converge e