Exercício 7. Obtenha uma fórmula para s_{n} em termos de n. Determine se as séries infinitas são convergentes ou divergentes, se for convergente encontre sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{5^{n-1}} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter uma fórmula para s_{n} — a soma parcial dos primeiros n termos da série — em termos de n; (2) decidir se a série infinita é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar sua soma.
As informações dadas são: a série é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{\,n-1}}.
Não há outras informações externas nem figuras. A partir disso precisamos identificar o termo geral e a soma parcial.

Passo 2

Identificamos o termo geral da sequência (o n-ésimo termo) que está sendo somada. Para cada n o termo é
a_n=\frac{2}{5^{\,n-1}}.
Vamos reescrever a_n de forma que fique claro o tipo da série:
a_n = 2\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}.
Isso é exatamente a forma de uma progressão geométrica: o primeiro termo é a=2 (quando n=1) e a razão é r=\tfrac{1}{5} (cada termo é obtido multiplicando o anterior por \tfrac{1}{5}).

Passo 3

Aula rápida sobre soma parcial de uma série geométrica: se temos uma progressão geométrica cujos termos são a, ar, ar^2,\dots, ar^{n-1}, a soma parcial s_n (soma dos primeiros n termos) obedece ao procedimento clássico: escrevemos
s_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}.
Multiplicando por r obtemos
r s_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^{n}.
Subtraindo as duas expressões:
s_n - r s_n = a - ar^{n},
ou seja
(1-r)s_n = a(1-r^{n}).
Daí a fórmula geral da soma parcial:
s_n = \frac{a\bigl(1-r^{n}\bigr)}{1-r},
válida sempre que r\neq 1. Aqui a é o primeiro termo e r a razão; r^{n} é a potência da razão. Essa fórmula é muito útil na prova porque reduz a soma de n termos a uma expressão fechada.

Passo 4

Agora aplicamos essa fórmula ao nosso caso concreto. Temos a=2 e r=\tfrac{1}{5}. Substituindo na fórmula:
s_n = \frac{2\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)}{1-\tfrac{1}{5}}.
Calculamos o denominador 1-\tfrac{1}{5}=\tfrac{4}{5}. Então
s_n = \frac{2\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)}{\tfrac{4}{5}}.
Multiplicando numerador e denominador ou dividindo por \tfrac{4}{5} (ou seja multiplicando por \tfrac{5}{4}):
s_n = 2\cdot\frac{5}{4}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)=\frac{5}{2}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr).
Essa é a fórmula pedida para s_n em termos de n.

Passo 5

Agora decidimos sobre a convergência da série infinita. A soma da série infinita (quando converge) é o limite das somas parciais:
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} s_n.
Usamos a expressão encontrada:
s_n = \frac{5}{2}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr).
Sabemos que, para |r|<1, r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Aqui r=\tfrac{1}{5} e |\tfrac{1}{5}|<1, logo (\tfrac{1}{5})^{n}\to 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} s_n = \frac{5}{2}\bigl(1-0\bigr)=\frac{5}{2}.
Assim a série converge (porque a razão tem módulo menor que 1) e sua soma é \tfrac{5}{2}.

Resposta

s_{n}=\dfrac{5}{2}\Bigl(1-\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{n}\Bigr)
A série converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{\,n-1}}=\frac{5}{2}.

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