Prove, usando o Teorema 3.3, que as sequências dadas são convergentes.
\left(\frac{n}{3^{n+1}}\right)_{n \in \mathbb{R}};

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos termos são
a_n=\frac{n}{3^{n+1}},\quad n\in\mathbb{N},
e pede para provar que essa sequência é convergente.
Informações relevantes: a fórmula explícita do termo a_n é a única informação necessária aqui. O objetivo é mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n existe e encontrar seu valor.

Passo 2

Vamos usar o Teorema 3.3. Vou enunciá-lo aqui de forma clara e simples (essa é a versão “teste da razão” para sequências):
Seja (a_n) uma sequência com a_n\neq 0 para n grande. Se existe o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
e L<1, então \lim_{n\to\infty} a_n=0.
Explicando a ideia do teorema: quando a razão entre termos consecutivos tende a um número menor que 1, os termos vão diminuindo geometricamente no longo prazo, o que força a sequência a convergir para 0. As variáveis: a_n é o termo genérico da sequência; a razão |a_{n+1}/a_n| mede como um termo se relaciona com o anterior; L é o limite dessa razão.

Passo 3

Aplicamos o Teorema 3.3 à sequência dada. Primeiro calculamos a razão entre termos consecutivos. Temos
a_{n+1}=\frac{n+1}{3^{n+2}}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{n+1}{3^{n+2}}}{\dfrac{n}{3^{n+1}}} =\frac{n+1}{3^{n+2}}\cdot\frac{3^{n+1}}{n}.

Passo 4

Continuando a simplificação da razão,
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{3^{n+1}}{3^{n+2}} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right).

Passo 5

Agora tomamos o limite da razão quando n\to\infty. Como \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1, obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{n}\right) =\frac{1}{3}.
Note que \frac{1}{3}<1.

Passo 6

Pelo Teorema 3.3 (já enunciado no Passo 2), como o limite da razão entre termos consecutivos existe e é igual a \frac{1}{3}<1, concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_n=0.
Para intuição extra: a razão tendendo a \tfrac{1}{3} indica que, para n grande, os termos se comportam aproximadamente como uma sequência geométrica de razão menor que 1, o que faz os termos irem para zero rapidamente.

Resposta

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