Prove, usando o Teorema 3.3, que as sequências dadas são convergentes. \left(\frac{n}{3^{n+1}}\right)_{n \in \mathbb{R}};
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos termos são
a_n=\frac{n}{3^{n+1}},\quad n\in\mathbb{N},
e pede para provar que essa sequência é convergente.
Informações relevantes: a fórmula explícita do termo a_n é a única informação necessária aqui. O objetivo é mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n existe e encontrar seu valor.
Passo 2
Vamos usar o Teorema 3.3. Vou enunciá-lo aqui de forma clara e simples (essa é a versão “teste da razão” para sequências):
Seja (a_n) uma sequência com a_n\neq 0 para n grande. Se existe o limite
Explicando a ideia do teorema: quando a razão entre termos consecutivos tende a um número menor que 1, os termos vão diminuindo geometricamente no longo prazo, o que força a sequência a convergir para 0. As variáveis: a_n é o termo genérico da sequência; a razão |a_{n+1}/a_n| mede como um termo se relaciona com o anterior; L é o limite dessa razão.
Passo 3
Aplicamos o Teorema 3.3 à sequência dada. Primeiro calculamos a razão entre termos consecutivos. Temos
Pelo Teorema 3.3 (já enunciado no Passo 2), como o limite da razão entre termos consecutivos existe e é igual a \frac{1}{3}<1, concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_n=0.
Para intuição extra: a razão tendendo a \tfrac{1}{3} indica que, para n grande, os termos se comportam aproximadamente como uma sequência geométrica de razão menor que 1, o que faz os termos irem para zero rapidamente.