Exercício 4. Obtenha o vetor x tal que x cdot(i-j)=0 e x times(i+2 k)=i-12 k

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec x em R^3 tal que
vec x cdot( i- j)=0 (produto escalar)
e
vec x times( i+2, k)= i-tfrac12, k (produto vetorial).
O conteúdo é representação cartesiana, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Escrevemos
vec x = (x,y,z)
O produto escalar com i- j=(1,-1,0)
vec x cdot (1,-1,0)=x - y = 0 Longrightarrow x = y

Passo 3

Para o produto vetorial, note que
i+2, k = (1,0,2),
então
vec x times (1,0,2) =(x,y,z)times(1,0,2) =(2y,;z-2x,;-y)
Deve igualar a (1,0,-tfrac12), fornecendo o sistema
2y = 1, z - 2x = 0, -y = -tfrac12

Passo 4

Do sistema:
  • de 2y=1 vem y=tfrac12,
  • de -y=-tfrac12 confirma y=tfrac12,
  • de x=y (Passo 2) segue x=tfrac12,
  • de z-2x=0 resulta z=2x=1.

Resposta

vec x = tfrac12, i + tfrac12, j + 1, k

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