Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada de um sistema linear com três incógnitas x1,x2,x3 e termos independentes todos iguais a zero, ou seja,
A = a11 & a12 & a13 & 0 a21 & a22 & a23 & 0 a31 & a32 & a33 & 0
O conteúdo aqui é sistemas lineares homogêneos e vamos precisar usar a teoria de posto de matriz e o teorema da dimensão do espaço das soluções (teorema da dimensão do núcleo).

Passo 2

Como todos os termos independentes
Em todo sistema homogêneo sempre existe a solução trivial (x_1=x_2=x_3=0], logo o sistema é sempre consistente.

Passo 3

Para analisar se há outras soluções não-triviais, usamos o posto da matriz dos coeficientes, que é
Denotando , o teorema da dimensão do núcleo diz que o espaço das soluções tem dimensão .

Passo 4

– Se det(Acoef)neq 0, então r=3. Nesse caso
dim(ker Acoef)=3-3=0
e a única solução é a trivial.
– Se det(Acoef)=0, então r<3. Aí
dim(ker Acoef)=3 - r > 0
e o sistema admite infinitas soluções não-triviais.

Resposta

O sistema é homogêneo e sempre tem a solução trivial x1=x2=x3=0.
(a) Se det(Acoef)neq 0, a solução trivial é única.
(b) Se det(Acoef)=0, há infinitas soluções.

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