Verifique se \mathrm{V}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{w}) \in \mathrm{R}^{4} ; \mathrm{y}=\mathrm{x}, \mathrm{z}=\mathrm{w}^{2}\right\} com as operações usuais de \mathrm{R}^{4} é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
V = \{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 \mid y = x,\\ z = w^2\}
e pergunta se, com as operações usuais de \mathbb{R}^4, V é um espaço vetorial. Para isso, basta verificar se V é fechado sob soma e multiplicação escalar (ou achar um contra‐exemplo).

Passo 2

Verificamos rapidamente o vetor zero. Em \mathbb{R}^4, o vetor zero é
(0,0,0,0).
Aqui temos y=0=x e z=0=w^2, pois 0^2=0. Logo
(0,0,0,0)\in V.

Passo 3

Testamos a soma: sejam
v_1=(1,1,1,1)\in V \quad\text{(pois \(1=1\) e \(1=1^2\))},
v_2=(1,1,4,2)\in V \quad\text{(pois \(1=1\) e \(4=2^2\))}.
Então
v_1+v_2 = (1+1,\;1+1,\;1+4,\;1+2) = (2,2,5,3).
Para pertencer a V precisamos ter z= w^2, ou seja 5 = 3^2 = 9, o que é falso. Portanto
v_1+v_2\notin V,
e V não é fechado sob adição.

Resposta

V não é espaço vetorial, pois falha a condição de fechamento sob soma.

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