- Exercício 5: Para uma variável
Poisson(4), calcule a probabilidade
.
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A pergunta é calcular a probabilidade
Vou listar a informação que temos:
-
, ou seja . - Queremos a probabilidade acumulada até
: .
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula básica da Poisson (a teoria por trás): para uma variável
com distribuição de Poisson de parâmetro
,
para
.
Explicando cada pedaço dessa fórmula, devagar e sem pânico:
-
é a média (e também a variância) da distribuição; aqui . -
significa fatorial de . Por exemplo , , , , etc. -
é a base do logaritmo natural elevada a ; é uma constante que aparece na Poisson. - A fórmula dá a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos.
Passo 3
Como queremos
, isso é a soma das probabilidades de
e
, porque esses eventos são mutuamente exclusivos:
Somar probabilidades de casos disjuntos é o que se faz sempre.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula da Poisson com
e
:
Agora simplificando termos fáceis:
logo
Passo 5
Calcular
usando a fórmula com
:
Como
e
, obtemos
Passo 6
Somando as duas probabilidades:
Isso é a forma exata da resposta — elegante e muito utilizada em provas quando não se pede aproximação numérica.
Passo 7
Se quiser uma aproximação decimal (útil para interpretar o valor): usar
, então
. Multiplicando por
:
Arredondando, podemos escrever
. É uma probabilidade pequena (cerca de
), o que faz sentido porque a média é
e pedir
ou
evento é bem abaixo da média.