• Exercício 5: Para uma variável X \sim Poisson(4), calcule a probabilidade P(X \leq 1).

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=4. A pergunta é calcular a probabilidade
P(X \le 1).
Vou listar a informação que temos:
  • X \sim \text{Poisson}(4), ou seja \lambda=4.
  • Queremos a probabilidade acumulada até 1: P(X\le 1).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula básica da Poisson (a teoria por trás): para uma variável X com distribuição de Poisson de parâmetro \lambda,
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
para k=0,1,2,\dots.
Explicando cada pedaço dessa fórmula, devagar e sem pânico:
  • \lambda é a média (e também a variância) da distribuição; aqui \lambda=4.
  • k! significa fatorial de k. Por exemplo 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, etc.
  • e^{-\lambda} é a base do logaritmo natural elevada a -\lambda; é uma constante que aparece na Poisson.
  • A fórmula dá a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.

Passo 3

Como queremos P(X\le 1), isso é a soma das probabilidades de X=0 e X=1, porque esses eventos são mutuamente exclusivos:
P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1).
Somar probabilidades de casos disjuntos é o que se faz sempre.

Passo 4

Calcular P(X=0) usando a fórmula da Poisson com \lambda=4 e k=0:
P(X=0)=e^{-4}\,\frac{4^{0}}{0!}.
Agora simplificando termos fáceis:
4^{0}=1,\qquad 0!=1,
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P(X=0)=e^{-4}.

Passo 5

Calcular P(X=1) usando a fórmula com k=1:
P(X=1)=e^{-4}\,\frac{4^{1}}{1!}.
Como 4^{1}=4 e 1!=1, obtemos
P(X=1)=4e^{-4}.

Passo 6

Somando as duas probabilidades:
P(X\le 1)=e^{-4}+4e^{-4}=(1+4)e^{-4}=5e^{-4}.
Isso é a forma exata da resposta — elegante e muito utilizada em provas quando não se pede aproximação numérica.

Passo 7

Se quiser uma aproximação decimal (útil para interpretar o valor): usar e^{4}\approx 54{,}59815, então e^{-4}\approx 0{,}018315. Multiplicando por 5:
5e^{-4}\approx 5\times 0{,}018315\approx 0{,}091575.
Arredondando, podemos escrever P(X\le 1)\approx 0{,}0916. É uma probabilidade pequena (cerca de 9{,}16\%), o que faz sentido porque a média é 4 e pedir 0 ou 1 evento é bem abaixo da média.

Resposta

P(X\le 1)=5e^{-4}
P(X\le 1)\approx 0{,}0916

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