Exercício 7) Para oferecer acessibilidade à portadores de deficiência de locomoção, são instalados em ônibus e outros veículos de transporte, um tipo de elevador hidráulico. Nesse dispositivo é utilizado uma bomba elétrica, para forçar um fluido a passar de uma tubulação estreita para a outra mais larga, e desta forma acionar um pistão que movimenta a plataforma. Considere um elevador hidráulico cuja a área da cabeça do pistão seja cinco vezes a área da tubulação que sai da bomba. Desprezando o atrito e considerando uma aceleração gravitacional de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, deseja-se elevar uma pessoa de 65 kg em uma cadeira de rodas de 15 kg , sobre a plataforma de 20 kg . Qual deve ser a força exercida pelo motor da bomba sobre o fluido para que o cadeirante seja elevado com velocidade constante?

Passo 1

O enunciado pede para determinar a força que o motor da bomba precisa exercer sobre o fluido para elevar o conjunto (pessoa + cadeira de rodas + plataforma) com velocidade constante.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • Massa da pessoa: 65\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da cadeira de rodas: 15\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da plataforma: 20\\ \mathrm{kg}.
  • A área da cabeça do pistão é cinco vezes a área da tubulação que sai da bomba. Ou seja, se a área da tubulação é A_1, a área do pistão é A_2 = 5A_1. (Estou pegando essa razão diretamente do enunciado.)\n
  • Desprezar atrito.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Condição de movimento: velocidade constante (o que significa aceleração nula, portanto forças equilibradas).

Passo 2

Entender o que significa elevar com velocidade constante e como traduzir isso em equação: quando um objeto sobe com velocidade constante, a aceleração é zero. Pela segunda lei de Newton, a soma das forças verticais é zero. Neste problema, as forças verticais relevantes sobre o conjunto que sobe são:\n
  • Peso para baixo, igual a mg do total das massas;
  • Força para cima fornecida pelo fluido no pistão.\n
    Portanto, para velocidade constante devemos ter, em módulo:\n
\text{força para cima no pistão} = \text{peso total} = M_\text{total}\,g.çã

Passo 3

Calcular a massa total do conjunto que será elevado. Somamos as massas que o enunciado deu:\n
M_\text{total} = 65 + 15 + 20 = 100\\ \mathrm{kg}.
Agora o peso total (força gravitacional) é\n
W = M_\text{total}\,g = 100 \times 10 = 1000\\ \mathrm{N}.
Logo, a força que o fluido precisa aplicar para cima no pistão é 1000\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Explicar como a bomba transfere força ao pistão: usamos a definição de pressão e o princípio de que, num fluido incompressível sem atrito, a pressão se transmite igualmente. A pressão p é dada por\n
p = \frac{F}{A},
onde F é a força aplicada numa área A. Aqui o motor aplica uma força F_1 sobre a área pequena A_1 (tubulação), gerando uma pressão p = \dfrac{F_1}{A_1}. Essa mesma pressão age sobre a área maior A_2 do pistão, produzindo uma força para cima no pistão igual a\n
F_2 = p\,A_2 = \frac{F_1}{A_1}\,A_2.

Passo 5

Usar a razão de áreas dada pelo enunciado. Como A_2 = 5A_1, substituímos em F_2:\n
F_2 = \frac{F_1}{A_1}\,A_2 = \frac{F_1}{A_1}\,(5A_1) = 5F_1.
Isto mostra a vantagem mecânica do sistema: a força no pistão é cinco vezes a força que o motor precisa aplicar sobre a área menor.

Passo 6

Agora igualamos a força fornecida pelo pistão ao peso total (condição de velocidade constante) e resolvemos para F_1. Temos\n
F_2 = 5F_1 = W = 1000\\ \mathrm{N}.
Isolando F_1:\n
F_1 = \frac{1000}{5} = 200\\ \mathrm{N}.
Interpretação prática: o motor da bomba precisa aplicar 200\\ \mathrm{N} sobre o fluido na tubulação estreita para que, por transmissão de pressão, o pistão gere 1000\\ \mathrm{N} e mantenha o cadeirante elevando-se com velocidade constante.

Resposta

200\\ \mathrm{N}

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