Exercício 7) Para oferecer acessibilidade à portadores de deficiência de locomoção, são instalados em ônibus e outros veículos de transporte, um tipo de elevador hidráulico. Nesse dispositivo é utilizado uma bomba elétrica, para forçar um fluido a passar de uma tubulação estreita para a outra mais larga, e desta forma acionar um pistão que movimenta a plataforma. Considere um elevador hidráulico cuja a área da cabeça do pistão seja cinco vezes a área da tubulação que sai da bomba. Desprezando o atrito e considerando uma aceleração gravitacional de
, deseja-se elevar uma pessoa de 65 kg em uma cadeira de rodas de 15 kg , sobre a plataforma de 20 kg . Qual deve ser a força exercida pelo motor da bomba sobre o fluido para que o cadeirante seja elevado com velocidade constante?
Passo 1
O enunciado pede para determinar a força que o motor da bomba precisa exercer sobre o fluido para elevar o conjunto (pessoa + cadeira de rodas + plataforma) com velocidade constante.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
- Massa da pessoa:
. - Massa da cadeira de rodas:
. - Massa da plataforma:
. - A área da cabeça do pistão é cinco vezes a área da tubulação que sai da bomba. Ou seja, se a área da tubulação é
, a área do pistão é . (Estou pegando essa razão diretamente do enunciado.)\n - Desprezar atrito.
- Aceleração da gravidade:
. - Condição de movimento: velocidade constante (o que significa aceleração nula, portanto forças equilibradas).
Passo 2
Entender o que significa elevar com velocidade constante e como traduzir isso em equação: quando um objeto sobe com velocidade constante, a aceleração é zero. Pela segunda lei de Newton, a soma das forças verticais é zero. Neste problema, as forças verticais relevantes sobre o conjunto que sobe são:\n
- Peso para baixo, igual a
do total das massas; - Força para cima fornecida pelo fluido no pistão.\n
Portanto, para velocidade constante devemos ter, em módulo:\n
Passo 3
Calcular a massa total do conjunto que será elevado. Somamos as massas que o enunciado deu:\n
Agora o peso total (força gravitacional) é\n
Logo, a força que o fluido precisa aplicar para cima no pistão é
.
Passo 4
Explicar como a bomba transfere força ao pistão: usamos a definição de pressão e o princípio de que, num fluido incompressível sem atrito, a pressão se transmite igualmente. A pressão
é dada por\n
onde
é a força aplicada numa área
. Aqui o motor aplica uma força
sobre a área pequena
(tubulação), gerando uma pressão
. Essa mesma pressão age sobre a área maior
do pistão, produzindo uma força para cima no pistão igual a\n
Passo 5
Usar a razão de áreas dada pelo enunciado. Como
, substituímos em
:\n
Isto mostra a vantagem mecânica do sistema: a força no pistão é cinco vezes a força que o motor precisa aplicar sobre a área menor.
Passo 6
Agora igualamos a força fornecida pelo pistão ao peso total (condição de velocidade constante) e resolvemos para
. Temos\n
Isolando
:\n
Interpretação prática: o motor da bomba precisa aplicar
sobre o fluido na tubulação estreita para que, por transmissão de pressão, o pistão gere
e mantenha o cadeirante elevando-se com velocidade constante.