Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, água escoa em uma extensão de 300 m , ligando um ponto A na cota topográfica de 90,0 \mathrm{~m}, no qual a pressão interna é de 275 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, a um ponto B na cota topográfica de 75,0 \mathrm{~m}, no qual a pressão interna é de 345 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. Esquematize o problema, inclusive a linha piezométrica, e calcule a perda de carga entre A e B e a perda de carga unitária. Se a vazão for igual a 0,14 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, calcule o fator de atrito da tubulação. Considere \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(\mathbf{\Delta H}=\mathbf{7 , 8 6 ~ m} ; \mathbf{J}=\mathbf{0 , 0 2 6 2 ~ m} / \mathbf{m} ; \mathbf{f}=\mathbf{0 , 0 3 9})

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a perda de carga entre os pontos A e B, a perda de carga unitária e o fator de atrito da tubulação. Me deram os seguintes dados (vou listar tudo que serve para cálculo):
  • Diâmetro da tubulação: D=0,30\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento entre A e B: L=300\\ \mathrm{m}.
  • Cota topográfica no ponto A: z_A=90,0\\ \mathrm{m}.
  • Cota topográfica no ponto B: z_B=75,0\\ \mathrm{m}.
  • Pressão interna em A: p_A=275\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
  • Pressão interna em B: p_B=345\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
  • Vazão: Q=0,14\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Vou assumir a massa específica da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (valor padrão, não fornecido no enunciado).
O que se pede numericamente:
  • Perda de carga entre A e B: \Delta H (em metros).
  • Perda de carga unitária: J=\dfrac{\Delta H}{L} (em \mathrm{m}/\mathrm{m}).
  • Fator de atrito f da tubulação, usando a fórmula de Darcy–Weisbach com a velocidade correspondente à vazão dada.

Passo 2

Entender a linha piezométrica e como obter a perda de carga diretamente a partir de pressões e cotas.
  • A linha piezométrica (piezometric head) em um ponto é a soma da cota com a carga de pressão (pressão expressa em altura de fluido): z+\dfrac{p}{\rho g}.
  • Como o diâmetro é constante, a velocidade média no tubo é a mesma nos pontos A e B, então a diferença de energia entre A e B (quando não há bomba nem turbina) se manifesta como perda de carga por atrito: \Delta H = \left(z_A + \frac{p_A}{\rho g}\right) - \left(z_B + \frac{p_B}{\rho g}\right).
Vou calcular passo a passo as contribuições \dfrac{p}{\rho g} (carga de pressão) para A e B.

Passo 3

Calcular as cargas de pressão (pressão convertida em metros de coluna d’água).
  • Converter as pressões para \mathrm{N}/\mathrm{m}^2: p_A = 275\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 = 275000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2,
p_B = 345\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 = 345000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2.
  • Calcular \dfrac{p}{\rho g} para A: \frac{p_A}{\rho g}=\frac{275000}{1000\cdot 9,8}= \frac{275000}{9800}=28{,}06122449\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \dfrac{p}{\rho g} para B: \frac{p_B}{\rho g}=\frac{345000}{1000\cdot 9,8}= \frac{345000}{9800}=35{,}20408163\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as alturas piezométricas (linha piezométrica) em A e B somando a cota com a carga de pressão.
  • Piezométrica em A: H_A = z_A + \frac{p_A}{\rho g} = 90{,}0 + 28{,}06122449 = 118{,}06122449\\ \mathrm{m}.
  • Piezométrica em B: H_B = z_B + \frac{p_B}{\rho g} = 75{,}0 + 35{,}20408163 = 110{,}20408163\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a perda de carga \Delta H e a perda unitária J.
  • Diferença entre as piezométricas: \Delta H = H_A - H_B = 118{,}06122449 - 110{,}20408163 = 7{,}85714286\\ \mathrm{m}.
  • Perda de carga unitária: J = \frac{\Delta H}{L} = \frac{7{,}85714286}{300} = 0{,}0261904762\\ \mathrm{m}/\mathrm{m}.
  • Arredondando de forma usual para os algarismos significativos que fazem sentido aqui:
    \Delta H \approx 7{,}86\\ \mathrm{m} e J \approx 0{,}0262\\ \mathrm{m}/\mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a velocidade média no tubo a partir da vazão, pois precisamos dela para obter o fator de atrito.
  • Área da seção transversal: A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\cdot(0{,}30)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}0225 = 0{,}07068583471\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade média: v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}14}{0{,}07068583471} = 1{,}98101207\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 7

Calcular a energia cinética por unidade de peso (carga de velocidade) que aparece na fórmula de Darcy–Weisbach: \dfrac{v^2}{2g}.
  • Calcular: \frac{v^2}{2g} = \frac{(1{,}98101207)^2}{2\cdot 9,8} = \frac{3{,}924405}{19{,}6} = 0{,}200224\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Usar a fórmula de Darcy–Weisbach para relacionar perda de carga e fator de atrito e isolar f.
  • A fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito em conduto circular é: h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},onde:
    • h_f é a perda de carga (m) — aqui h_f=\Delta H,
    • f é o fator de atrito adimensional (Darcy),
    • L é o comprimento do trecho (m),
    • D é o diâmetro (m),
    • v é a velocidade média (m/s),
    • g é a gravidade (m/s^2).
  • Isolando f: f = \frac{h_f}{\dfrac{L}{D}\,\dfrac{v^2}{2g}}.
  • Substituindo os valores (note que L/D = 300/0{,}30 = 1000): f = \frac{7{,}85714286}{1000\cdot 0{,}200224} = \frac{7{,}85714286}{200{,}224} = 0{,}039252.
  • Arredondando de forma adequada, obtemos f \approx 0{,}039.

Passo 9

Esquematização (descrição) da situação e da linha piezométrica — como fazer um esboço na prova.
  • Esboce um traço horizontal representando o solo; marque os pontos A (mais alto) e B (mais baixo) nas cotas z_A=90{,}0\\ \mathrm{m} e z_B=75{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Para cada ponto, desenhe a coluna que representa a carga de pressão p/(\rho g): em A desenhe uma barra adicional de altura 28{,}06\\ \mathrm{m} acima de z_A e em B uma barra de 35{,}20\\ \mathrm{m} acima de z_B. A soma dá as alturas piezométricas H_A e H_B que já calculei.
  • Trace uma linha unindo as extremidades superiores dessas barras: essa é a linha piezométrica que decresce de H_A para H_B. A queda vertical entre elas é a perda de carga \Delta H.
  • Como o diâmetro é constante, a linha hidrostática (pressão) mais a cota são suficientes; a carga cinética ( v^2/(2g)) é a mesma nos dois pontos e, portanto, não aparece na diferença (ela cancela), o que justificou usar só as piezométricas para \Delta H.

Resposta

\Delta H = 7{,}86\\ \mathrm{m}\n
J = 0{,}0262\\ \mathrm{m}/\mathrm{m}\n
f = 0{,}039

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