Exercício 1. Considere u=(-2,4), v=(6,3) e w=(1,-2). Determine
(a) 5 u-3 w+2 v.
(b) |u|,|v| e |w|.
(c) \langle u, v\rangle e \langle u, w\rangle e \langle v, w\rangle.
(d) \langle u-v, v+w\rangle.
(e) Quais dos pares de vetores u, v e w são ortogonais?
(f) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal a u.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^2:
u = (-2,4),\qquad v=(6,3),\qquad w=(1,-2).
As perguntas são:
(a) calcular 5u-3w+2v.
(b) calcular |u|,\;|v| e |w|.
(c) calcular \langle u,v\rangle,\;\langle u,w\rangle e \langle v,w\rangle.
(d) calcular \langle u-v,\,v+w\rangle.
(e) dizer quais pares entre u,v,w são ortogonais.
(f) encontrar um vetor unitário ortogonal a u.

Passo 2

(a) Primeiro recordando: multiplicação de um vetor por escalar age em cada componente, e soma/subtração de vetores é feita componente a componente.
Calcula-se cada termo:
5u = 5\cdot(-2,4) = (-10,20),
-3w = -3\cdot(1,-2) = (-3,6),
2v = 2\cdot(6,3) = (12,6).
Agora somando componente a componente:
5u-3w+2v = (-10,20)+(-3,6)+(12,6).
Soma-se as primeiras componentes: -10 +(-3)+12 = -1.
Soma-se as segundas componentes: 20+6+6 = 32.
Portanto o resultado é
5u-3w+2v = (-1,32).

Passo 3

(b) Definição de norma: para um vetor (x,y) em \mathbb{R}^2,
\lvert (x,y)\rvert = \sqrt{x^2+y^2}.
Aplicando a cada vetor:
Para u=(-2,4):
|u| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
Para v=(6,3):
|v| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.
Para w=(1,-2):
|w| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}.

Passo 4

(c) Definição de produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^2: para (x_1,y_1) e (x_2,y_2),
\langle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2.
Calculemos:
Para \langle u,v\rangle com u=(-2,4) e v=(6,3):
\langle u,v\rangle = (-2)\cdot 6 + 4\cdot 3 = -12 + 12 = 0.
Para \langle u,w\rangle com w=(1,-2):
\langle u,w\rangle = (-2)\cdot 1 + 4\cdot(-2) = -2 -8 = -10.
Para \langle v,w\rangle:
\langle v,w\rangle = 6\cdot 1 + 3\cdot(-2) = 6 -6 = 0.

Passo 5

(d) Para \langle u-v,\,v+w\rangle há duas maneiras didáticas: calcular componentes de u-v e v+w e multiplicar, ou usar linearidade do produto interno. Vou mostrar as duas (é bom saber fazer as duas na prova).
Método direto (componentes):
u-v = (-2,4)-(6,3) = (-8,1),
v+w = (6,3)+(1,-2) = (7,1).
Agora o produto interno:
\langle u-v,\,v+w\rangle = (-8)\cdot 7 + 1\cdot 1 = -56 + 1 = -55.
Método usando bilinearidade (confirmação): o produto interno é distributivo, então
\langle u-v,\,v+w\rangle = \langle u,v\rangle + \langle u,w\rangle - \langle v,v\rangle - \langle v,w\rangle.
Substituindo valores já calculados:
\langle u,v\rangle = 0,\quad \langle u,w\rangle = -10,\quad \langle v,w\rangle = 0,\quad \langle v,v\rangle = |v|^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45.
Logo
0 + (-10) - 45 - 0 = -55,
confirmando o resultado.

Passo 6

(e) Lembrete prático: dois vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é zero. Usando os resultados do Passo 4:
\langle u,v\rangle = 0\quad\Rightarrow\quad u\\ \text{é ortogonal a}\\ v.é
\langle v,w\rangle = 0\quad\Rightarrow\quad v\\ \text{é ortogonal a}\\ w.é
\langle u,w\rangle = -10 \neq 0\quad\Rightarrow\quad u\\ \text{não é ortogonal a}\\ w.ãé
Portanto os pares ortogonais são (u,v) e (v,w).

Passo 7

(f) Queremos um vetor unitário (norma 1) ortogonal a u. Estratégia geral em \mathbb{R}^2: se u=(x,y), um vetor ortogonal satisfaz ax+by=0. Para u=(-2,4) isto dá:
-2a + 4b = 0 \quad\Rightarrow\quad -a + 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 2b.
Logo todos os vetores ortogonais a u têm a forma b(2,1). Escolhendo b=1 obtemos o vetor (2,1) que é ortogonal a u. Agora normalizamos (dividimos pelo módulo) para ficar unitário.
Cálculo do módulo de (2,1):
\lvert(2,1)\rvert = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}.
Portanto um vetor unitário ortogonal a u é
\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1) = \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Observação: o negativo \left(-\tfrac{2}{\sqrt{5}},-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right) também é unitário e ortogonal a u; ambos valem.

Resposta

(a) (-1,32)
(b) |u|=2\sqrt{5},\;|v|=3\sqrt{5},\;|w|=\sqrt{5}
(c) \langle u,v\rangle=0,\;\langle u,w\rangle=-10,\;\langle v,w\rangle=0
(d) \langle u-v,\,v+w\rangle=-55
(e) Os pares ortogonais são (u,v) e (v,w)
(f) Um vetor unitário ortogonal a u é \displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

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