Exercício 1. Considere
e
. Determine
(a)
.
(b)
e
.
(c)
e
e
.
(d)
.
(e) Quais dos pares de vetores
e
são ortogonais?
(f) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal a
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Quais dos pares de vetores
(f) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal a
Passo 1
O enunciado dá três vetores em
:
As perguntas são:
(a) calcular .
(b) calcular e
.
(c) calcular e
.
(d) calcular .
(e) dizer quais pares entre são ortogonais.
(f) encontrar um vetor unitário ortogonal a .
(a) calcular
(b) calcular
(c) calcular
(d) calcular
(e) dizer quais pares entre
(f) encontrar um vetor unitário ortogonal a
Passo 2
(a) Primeiro recordando: multiplicação de um vetor por escalar age em cada componente, e soma/subtração de vetores é feita componente a componente.
Calcula-se cada termo:
Calcula-se cada termo:
Agora somando componente a componente:
Soma-se as primeiras componentes:
.
Soma-se as segundas componentes: .
Portanto o resultado é
Soma-se as segundas componentes:
Portanto o resultado é
Passo 3
(b) Definição de norma: para um vetor
em
,
Aplicando a cada vetor:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
(c) Definição de produto interno (produto escalar) em
: para
e
,
Calculemos:
Para
com
e
:
Para
com
:
Para
:
Passo 5
(d) Para
há duas maneiras didáticas: calcular componentes de
e
e multiplicar, ou usar linearidade do produto interno. Vou mostrar as duas (é bom saber fazer as duas na prova).
Método direto (componentes):
Agora o produto interno:
Método usando bilinearidade (confirmação): o produto interno é distributivo, então
Substituindo valores já calculados:
Logo
confirmando o resultado.
Passo 6
(e) Lembrete prático: dois vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é zero. Usando os resultados do Passo 4:
Portanto os pares ortogonais são
e
.
Passo 7
(f) Queremos um vetor unitário (norma
) ortogonal a
. Estratégia geral em
: se
, um vetor ortogonal satisfaz
. Para
isto dá:
Logo todos os vetores ortogonais a
têm a forma
. Escolhendo
obtemos o vetor
que é ortogonal a
. Agora normalizamos (dividimos pelo módulo) para ficar unitário.
Cálculo do módulo de
:
Portanto um vetor unitário ortogonal a
é
Observação: o negativo
também é unitário e ortogonal a
; ambos valem.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Os pares ortogonais são e
(f) Um vetor unitário ortogonal a é
(b)
(c)
(d)
(e) Os pares ortogonais são
(f) Um vetor unitário ortogonal a