Exercício 7. Uma partícula se move no espaço com aceleração
(gravidade). Sabendo que
e
, encontre:
(a) A função velocidade
.
(b) A função posição
.
(c) O instante em que a partícula atinge o solo
e a posição
nesse momento.
(a) A função velocidade
(b) A função posição
(c) O instante em que a partícula atinge o solo
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede, para não se perder no desespero (respira que a gente resolve junto).
Dados fornecidos:
- A aceleração é
. - A velocidade inicial é
. - A posição inicial é
.
O enunciado pede:
(a) a função velocidade ;
(b) a função posição ;
(c) o instante em que a partícula atinge o solo e a posição
nesse instante.
(a) a função velocidade
(b) a função posição
(c) o instante em que a partícula atinge o solo
Passo 2
Conceito e método: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é
. Para recuperar a velocidade a partir da aceleração usamos integração:
.
Como
é constante (não depende de
), a integral é simples:
.
Aplicando componente a componente:
- Componente
: e , logo . - Componente
: e , logo . - Componente
: e , logo .
Portanto, a velocidade é
Passo 3
Agora a posição. Relação básica: a velocidade é a derivada da posição,
. Invertendo,
.
Vamos integrar cada componente:
- Componente
:
Aqui usei que a integral de uma constante
é
.
- Componente
:
- Componente
:
Calcule a integral:
e
. Então
Juntando:
Explicando fisicamente: o movimento no eixo
é uma parábola (termo em
) porque a aceleração vertical é constante; no eixo
é movimento uniforme (velocidade constante
).
Passo 4
Vamos achar o instante em que a partícula atinge o solo, ou seja, quando
. Montamos a equação:
Multiplicando por
para ficar mais simples:
Isto é uma equação quadrática na forma
com
,
,
. A fórmula de Bhaskara dá
Calcule o discriminante:
portanto
.
As raízes são
Análise das raízes: como
(porque
), a solução com sinal menos fica negativa e não interessa (tempo negativo). Assim a única solução física (tempo positivo) é
Passo 5
Agora a posição horizontal no instante do impacto. Temos
e
. Substituindo
:
Se quiser uma aproximação numérica para ter noção prática, usando
:
-
. -
-
, .
(Se na prova usar
por aproximação, dá
e
.)
Passo 6
Resumo prático: a parte (a) sai integrando aceleração; a (b) integrando a velocidade; a (c) resolvendo
(uma quadrática), escolhendo a raiz positiva. Calma que é só aplicar integrais básicas e a fórmula quadrática — pega leve, respira e confia que deu certo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)