Exercício 7. Uma partícula se move no espaço com aceleração \vec{a}(t)=(0,0,-g) (gravidade). Sabendo que \vec{v}(0)= (10,0,20) e \vec{r}(0)=(0,0,50), encontre:
(a) A função velocidade \vec{v}(t).
(b) A função posição \vec{r}(t).
(c) O instante em que a partícula atinge o solo (z=0) e a posição (x, y) nesse momento.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede, para não se perder no desespero (respira que a gente resolve junto).
Dados fornecidos:
  • A aceleração é \vec{a}(t)=(0,0,-g).
  • A velocidade inicial é \vec{v}(0)=(10,0,20).
  • A posição inicial é \vec{r}(0)=(0,0,50).
O enunciado pede:
(a) a função velocidade \vec{v}(t);
(b) a função posição \vec{r}(t);
(c) o instante em que a partícula atinge o solo (z=0) e a posição (x,y) nesse instante.

Passo 2

Conceito e método: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Para recuperar a velocidade a partir da aceleração usamos integração: \vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\displaystyle\int_{0}^{t}\vec{a}(s)\,ds.
Como \vec{a}(t) é constante (não depende de t), a integral é simples: \displaystyle\int_{0}^{t}\vec{a}\,ds=\vec{a}\,t.
Aplicando componente a componente:
  • Componente x: a_x=0 e v_x(0)=10, logo v_x(t)=10+0\cdot t=10.
  • Componente y: a_y=0 e v_y(0)=0, logo v_y(t)=0.
  • Componente z: a_z=-g e v_z(0)=20, logo v_z(t)=20+(-g)\,t=20-g t.
Portanto, a velocidade é
\vec{v}(t)=\bigl(10,\;0,\;20- g t\bigr).

Passo 3

Agora a posição. Relação básica: a velocidade é a derivada da posição, \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Invertendo, \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\displaystyle\int_{0}^{t}\vec{v}(s)\,ds.
Vamos integrar cada componente:
  • Componente x:
x(t)=0+\int_{0}^{t}10\,ds=10t.
Aqui usei que a integral de uma constante c é c t.
  • Componente y:
y(t)=0+\int_{0}^{t}0\,ds=0.
  • Componente z:
z(t)=50+\int_{0}^{t}\bigl(20- g s\bigr)\,ds.
Calcule a integral: \displaystyle\int_{0}^{t}20\,ds=20t e \displaystyle\int_{0}^{t}g s\,ds=g\cdot\frac{t^{2}}{2}. Então
z(t)=50+20t-\frac{g}{2}t^{2}.
Juntando:
\vec{r}(t)=\Bigl(10t,\;0,\;50+20t-\dfrac{g}{2}t^{2}\Bigr).
Explicando fisicamente: o movimento no eixo z é uma parábola (termo em t^{2}) porque a aceleração vertical é constante; no eixo x é movimento uniforme (velocidade constante 10).

Passo 4

Vamos achar o instante em que a partícula atinge o solo, ou seja, quando z(t)=0. Montamos a equação:
50+20t-\frac{g}{2}t^{2}=0.
Multiplicando por 2 para ficar mais simples:
g t^{2}-40t-100=0.
Isto é uma equação quadrática na forma a t^{2}+b t + c =0 com a=g, b=-40, c=-100. A fórmula de Bhaskara dá
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{40\pm\sqrt{(-40)^{2}-4(g)(-100)}}{2g}.
Calcule o discriminante:
\Delta=1600+400g=400(4+g),
portanto \sqrt{\Delta}=20\sqrt{4+g}.
As raízes são
t=\frac{40\pm 20\sqrt{4+g}}{2g}=\frac{10\bigl(2\pm\sqrt{4+g}\bigr)}{g}.
Análise das raízes: como \sqrt{4+g}>2 (porque g>0), a solução com sinal menos fica negativa e não interessa (tempo negativo). Assim a única solução física (tempo positivo) é
t_{\text{impact}}=\frac{10\bigl(2+\sqrt{4+g}\bigr)}{g}.

Passo 5

Agora a posição horizontal no instante do impacto. Temos x(t)=10t e y(t)=0. Substituindo t_{\text{impact}}:
x_{\text{impact}}=10\,t_{\text{impact}}= \frac{100\bigl(2+\sqrt{4+g}\bigr)}{g}, \qquad y_{\text{impact}}=0.
Se quiser uma aproximação numérica para ter noção prática, usando g=9{,}8\\ \text{m/s}^2:
  • \sqrt{4+g}=\sqrt{13{,}8}\approx 3{,}714.
  • t_{\text{impact}}\approx \dfrac{10(2+3{,}714)}{9{,}8}\approx \dfrac{57{,}14}{9{,}8}\approx 5{,}83\\ \text{s}.
  • x_{\text{impact}}=10t\approx 10\cdot 5{,}83\approx 58{,}3\\ \text{m}, y_{\text{impact}}=0.
(Se na prova usar g=10\\ \text{m/s}^2 por aproximação, dá t\approx5{,}714\\ \text{s} e x\approx57{,}14\\ \text{m}.)

Passo 6

Resumo prático: a parte (a) sai integrando aceleração; a (b) integrando a velocidade; a (c) resolvendo z(t)=0 (uma quadrática), escolhendo a raiz positiva. Calma que é só aplicar integrais básicas e a fórmula quadrática — pega leve, respira e confia que deu certo.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{v}(t)=\bigl(10,\;0,\;20- g t\bigr)
(b) \displaystyle \vec{r}(t)=\Bigl(10t,\;0,\;50+20t-\dfrac{g}{2}t^{2}\Bigr)
(c) \displaystyle t_{\text{impact}}=\frac{10\bigl(2+\sqrt{4+g}\bigr)}{g},\qquad (x_{\text{impact}},y_{\text{impact}})=\left(\frac{100\bigl(2+\sqrt{4+g}\bigr)}{g},\;0\right)

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