Questões 3 e 4:
Uma partícula de massa m=1,00 \mathrm{~kg} desloca-se em um plano. O vetor posição da partícula (em metros) em função do tempo t (em segundos) é dado por
\vec{r}(t)=\left(2,00 t-2,00 t^{2}\right) \hat{\imath}+\left(1,00-2,00 t^{2}+\frac{1}{3} t^{3}\right) \hat{\jmath},
em que
\hat{\imath} e
\hat{\jmath} são, respectivamente, os vetores unitários ao longo dos eixos
x
horizontal e
y
vertical.
Questão 3 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Qual é o módulo da velocidade da partícula para t=2,0 \mathrm{~s} ?
(a) 2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(b) \sqrt{13} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(c) 14,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(d) \sqrt{52} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(e) \sqrt{109} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(f) \sqrt{349} \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei tudo do enunciado):
  • Massa da partícula: m=1{,}00\\ \mathrm{kg} (não é necessária para velocidade, mas está informada).
  • Vetor posição em função do tempo:
\vec{r}(t)=\bigl(2{,}00\,t-2{,}00\,t^{2}\bigr)\hat{\imath}+\bigl(1{,}00-2{,}00\,t^{2}+\tfrac{1}{3}t^{3}\bigr)\hat{\jmath}.
  • Pergunta: Qual é o módulo da velocidade da partícula para t=2{,}0\\ \mathrm{s}?
  • Alternativas:
    (a) 2{,}00\\ \mathrm{m/s}
    (b) \sqrt{13}\\ \mathrm{m/s}
    (c) 14{,}0\\ \mathrm{m/s}
    (d) \sqrt{52}\\ \mathrm{m/s}
    (e) \sqrt{109}\\ \mathrm{m/s}
    (f) \sqrt{349}\\ \mathrm{m/s}

Passo 2

O que é velocidade e como achá-la (aula rápida, bem prática):
  • A velocidade instantânea é o ritmo de variação do vetor posição. Matematicamente, é a derivada temporal do vetor posição:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
  • Derivadas básicas úteis:
    • A derivada de uma constante é 0.
    • A derivada de a\,t^{n} é a\,n\,t^{n-1}.
    • A derivada é linear: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Aplicando essas regras componente a componente: se \vec{r}(t)=x(t)\hat{\imath}+y(t)\hat{\jmath}, então
\vec{v}(t)=x'(t)\hat{\imath}+y'(t)\hat{\jmath}.
Agora vamos derivar as duas componentes dadas.

Passo 3

Derivar as componentes de \vec{r}(t):
  • Componente x(t)=2{,}00\,t-2{,}00\,t^{2}. Usando a regra d/dt(a t^{n})=a n t^{n-1}:
x'(t)=2{,}00-4{,}00\,t.
(Explicação numérica: derivada de 2{,}00\,t é 2{,}00; derivada de -2{,}00\,t^{2} é -2{,}00\cdot 2\,t = -4{,}00\,t.)
  • Componente y(t)=1{,}00-2{,}00\,t^{2}+\tfrac{1}{3}t^{3}:
y'(t)=0-4{,}00\,t+t^{2}=-4{,}00\,t+t^{2}.
(Explicação numérica: derivada de 1{,}00 é 0; de -2{,}00\,t^{2} é -4{,}00\,t; de \tfrac{1}{3}t^{3} é \tfrac{1}{3}\cdot 3\,t^{2}=t^{2}.)
Logo
\vec{v}(t)=\bigl(2{,}00-4{,}00\,t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(-4{,}00\,t+t^{2}\bigr)\hat{\jmath}.

Passo 4

Avaliar \vec{v}(t) em t=2{,}0\\ \mathrm{s} com contas claras:
  • Para v_{x}:
v_{x}(2{,}0)=2{,}00-4{,}00\cdot 2{,}0=2{,}00-8{,}00=-6{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • Para v_{y}:
v_{y}(2{,}0)=-4{,}00\cdot 2{,}0+(2{,}0)^{2}=-8{,}00+4{,}00=-4{,}00\\ \mathrm{m/s}.
Portanto \vec{v}(2{,}0)=(-6{,}00)\hat{\imath}+(-4{,}00)\hat{\jmath}.

Passo 5

Calcular o módulo (velocidade escalar) usando o teorema de Pitágoras para componentes ortogonais:
\lVert \vec{v}(2{,}0)\rVert=\sqrt{v_{x}(2{,}0)^{2}+v_{y}(2{,}0)^{2}}.
Substituindo os valores:
\lVert \vec{v}(2{,}0)\rVert=\sqrt{(-6{,}00)^{2}+(-4{,}00)^{2}}=\sqrt{36{,}00+16{,}00}=\sqrt{52{,}00}.
Podemos também simplificar \sqrt{52{,}00}=2\sqrt{13}, mas a forma \sqrt{52} coincide com uma das alternativas.

Resposta

(d) \sqrt{52}\\ \mathrm{m/s}

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