Questões 3 e 4:
Uma partícula de massa
desloca-se em um plano. O vetor posição da partícula (em metros) em função do tempo
(em segundos) é dado por
em que
e
são, respectivamente, os vetores unitários ao longo dos eixos
horizontal e
vertical.
Questão 3 (
ponto): Qual é o módulo da velocidade da partícula para
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Uma partícula de massa
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei tudo do enunciado):
- Massa da partícula:
(não é necessária para velocidade, mas está informada). - Vetor posição em função do tempo:
- Pergunta: Qual é o módulo da velocidade da partícula para
? - Alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 2
O que é velocidade e como achá-la (aula rápida, bem prática):
- A velocidade instantânea é o ritmo de variação do vetor posição. Matematicamente, é a derivada temporal do vetor posição:
- Derivadas básicas úteis:
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de
é . - A derivada é linear: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- A derivada de uma constante é
- Aplicando essas regras componente a componente: se
, então
Agora vamos derivar as duas componentes dadas.
Passo 3
Derivar as componentes de
:
- Componente
. Usando a regra :
(Explicação numérica: derivada de
é
; derivada de
é
.)
- Componente
:
(Explicação numérica: derivada de
é
; de
é
; de
é
.)
Logo
Passo 4
Avaliar
em
com contas claras:
- Para
:
- Para
:
Portanto
.
Passo 5
Calcular o módulo (velocidade escalar) usando o teorema de Pitágoras para componentes ortogonais:
Substituindo os valores:
Podemos também simplificar
, mas a forma
coincide com uma das alternativas.
Resposta
(d)