Exercício 3.6.1 Uma partícula se move ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v(t) c m / s em t s então ache v(t0), para o ponto t0 indicado.
s=4 t^3+2 t-1, em t0=12;

Passo 1

O enunciado dá a função posição da partícula ao longo do tempo em segundos:
s(t)=4t^3+2t-1,
onde s está em centímetros. Pede-se a velocidade instantânea v(t) (em cm/s), que é a derivada de s(t), e depois o valor de v em t0=tfrac12.

Passo 2

Lembrando que a velocidade instantânea é
v(t)=dsdt,
e que a derivada de um polinômio se faz termo a termo usando ddt(t^n)=n,t^n-1 e a linearidade da derivada.

Passo 3

Derivando cada termo de s(t):
  • ddt(4t^3)=4cdot3,t^2=12t^2,
  • ddt(2t)=2,
  • ddt(-1)=0.
Portanto,
v(t)=s'(t)=12t^2+2

Passo 4

Para encontrar vl(t0r) com t0=tfrac12, substituímos:
vl(tfrac12r)=12l(tfrac12r)^2+2 =12cdottfrac14+2 =3+2 =5

Resposta

v(t)=12t^2+2 cm/s
vl(tfrac12r)=5 cm/s

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