Exercício 3 Uma partícula move-se com aceleração constante a=-3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. No instante inicial, sua velocidade é v_{0}=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Escreva a função da velocidade v(t).
(b) Determine a velocidade no instante t=2 \mathrm{~s}.
(c) Em que instante a partícula para?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações fornecidas:
    • A aceleração é constante e vale \,a=-3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,.
    • A velocidade no instante inicial é \,v_0=12\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\,.
  • Perguntas pedidas:
    1. (a) Escrever a função da velocidade \,v(t)\,.
    2. (b) Determinar a velocidade no instante \,t=2\\ \mathrm{s}\,.
    3. (c) Determinar em que instante a partícula para (ou seja, quando \,v(t)=0).

Passo 2

Entender a relação entre aceleração e velocidade (fórmula que vamos usar).
  • Definição operacional: a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em termos diferenciais isso é escrito como
\frac{dv}{dt}=a.
Aqui \,v(t)\, é a velocidade em função do tempo e \,a\, é uma constante dada ( \,a=-3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,).
  • Para obter \,v(t)\, a partir dessa igualdade, integramos em relação ao tempo. Integrar é o processo inverso de derivar: se \dfrac{dv}{dt}=a e a é constante, então a primitiva (a função cuja derivada é a) é uma função linear em t.

Passo 3

Derivação passo a passo da expressão de \,v(t)\,.
  • Partindo de
\frac{dv}{dt}=a,
podemos escrever (separando variáveis ou integrando diretamente)
v(t)=\int a\,dt = at + C,
onde C é a constante de integração que deve ser determinada usando a condição inicial.
  • Usando a condição inicial \,v(0)=v_0\,, substitui-se t=0 na expressão acima:
v(0)=a\cdot 0 + C = C.
Portanto \,C=v_0\,.
  • Conclusão: a função velocidade é
v(t)=v_0 + a\,t.

Passo 4

Aplicando os valores numéricos ao resultado obtido.
  • Substituindo \,v_0=12\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\, e \,a=-3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2\, na fórmula \,v(t)=v_0 + a\,t\,, obtemos
v(t)=12 + (-3)\,t = 12 - 3t\quad\big(\mathrm{m}/\mathrm{s}\big).

Passo 5

Calcular a velocidade no instante \,t=2\\ \mathrm{s}\,.
  • Substituir t=2 na expressão \,v(t)=12-3t\,:
v(2)=12 - 3\cdot 2 = 12 - 6 = 6\quad\big(\mathrm{m}/\mathrm{s}\big).
  • Interpretação curta: a velocidade diminuiu por causa da aceleração negativa, mas ainda é positiva em t=2\\ \mathrm{s}, logo a partícula continua se movendo no mesmo sentido original.

Passo 6

Determinar o instante em que a partícula para ( v(t)=0).
  • Resolver a equação
0 = v(t) = 12 - 3t.
  • Isolando t:
3t = 12 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{12}{3} = 4\quad(\mathrm{s}).
  • Interpretação: em \,t=4\\ \mathrm{s}\, a velocidade é zero; para t>4\\ \mathrm{s} a velocidade fica negativa (a partícula passa a mover-se no sentido oposto).

Resposta

(a) v(t)=12-3t\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(b) v(2)=6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(c) t=4\\ \mathrm{s}

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